Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{\cos^{5} (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos^{5} (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos^{5} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos^{5} (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos^{5} (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos^{5} (x)$ .

$e^{\cos^{5} (x)} \frac{d}{d x} [\cos^{5} (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$e^{\cos^{5} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$e^{\cos^{5} (x)} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (x)$ .

$e^{\cos^{5} (x)} (5 \cos^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3

Mova $5$ para a esquerda de $e^{\cos^{5} (x)}$ .

$5 \cdot e^{\cos^{5} (x)} \cos^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$5 e^{\cos^{5} (x)} \cos^{4} (x) (- \sin (x))$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5 e^{\cos^{5} (x)} \cos^{4} (x) \sin (x)$