Cálculo Exemplos

${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$

Etapa 1

Escreva ${(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ como uma função.

$f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) (2 x - x^{2})]$

Etapa 2.1.2

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (2 x - x^{2})]$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Etapa 2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Etapa 2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Etapa 2.1.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (2 x - x^{2})]$

Etapa 2.1.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1) (2 x - x^{2})]$

Etapa 2.1.3.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) (2 x - x^{2})]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ e $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Etapa 2.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Etapa 2.1.5.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Etapa 2.1.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Etapa 2.1.5.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Etapa 2.1.5.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Etapa 2.1.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Etapa 2.1.5.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Etapa 2.1.5.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.1.5.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.1.5.10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.1.5.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.1.5.12

Multiplique $2$ por $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.1.5.13

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2 + 0)$

Etapa 2.1.5.14

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

Etapa 2.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1

Fatore $1$ de $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.1.1

Fatore $1$ de $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)$ .

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

Etapa 2.1.6.1.2

Fatore $1$ de $(2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ .

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

Etapa 2.1.6.1.3

Fatore $1$ de $1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x)) + 1 ((2 x - x^{2}) (2 x + 2))$ .

$1 ((x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2))$

Etapa 2.1.6.2

Multiplique $(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$ por $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (2 x + 2)$

Etapa 2.1.6.3

Reordene os termos.

$(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1) + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.4.1

Expanda $(2 - 2 x) (x^{2} + 2 x + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.4.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.2.3

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.4.2.3.1

Mova $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.2.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.4.2.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2 + 1} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.2.3.3

Some $2$ e $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.2.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.4.2.5.1

Mova $x$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.2.6

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.2.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.3

Subtraia $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.4

Subtraia $2 x$ de $4 x$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + (2 x + 2) (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.5

Expanda $(2 x + 2) (2 x - x^{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.4.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x - x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x - x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.4.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.4.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.4.6.1.2.1

Mova $x$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.6.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.6.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.6.1.5

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.4.6.1.5.1

Mova $x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.6.1.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.4.6.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.6.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.6.1.5.3

Some $2$ e $1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.6.1.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 (2 x) + 2 (- x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.6.1.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x + 2 (- x^{2})$

Etapa 2.1.6.4.6.1.8

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x - 2 x^{2}$

Etapa 2.1.6.4.6.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$

Etapa 2.1.6.5

Combine os termos opostos em $- 2 x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.6.5.1

Some $- 2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$2 x + 2 - 2 x^{3} + 0 - 2 x^{3} + 4 x$

Etapa 2.1.6.5.2

Some $2 x + 2 - 2 x^{3}$ e $0$ .

$2 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 4 x$

Etapa 2.1.6.6

Some $2 x$ e $4 x$ .

$2 - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 6 x$

Etapa 2.1.6.7

Subtraia $2 x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$f' (x) = 2 - 4 x^{3} + 6 x$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 4 x^{3} + 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$0 - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$0 - 12 x^{2} + 6$

Etapa 2.2.4

Subtraia $12 x^{2}$ de $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 12 x^{2} + 6$ .

$- 12 x^{2} + 6$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 12 x^{2} + 6 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 12 x^{2} + 6 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- 12 x^{2} = - 6$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- 12 x^{2} = - 6$ por $- 12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- 12 x^{2} = - 6$ por $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 6}{- 12}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 6}{- 12}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 6}{- 12}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $- 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $- 6$ de $- 6$ .

$x^{2} = \frac{- 6 (1)}{- 12}$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.2.1

Fatore $- 6$ de $- 12$ .

$x^{2} = \frac{- 6 \cdot 1}{- 6 \cdot 2}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{- 6 \cdot 1}{- 6 \cdot 2}$

Etapa 3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.5.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.5.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $\frac{\sqrt{2}}{2}$ em $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = {((\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1)}^{2} (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Reescreva ${(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)}^{2}$ como $(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.2

Expanda $(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.1.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.1.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.2.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 (1)}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.4

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.5

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1 + 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.4

Some $1$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}) (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.4.2

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.5.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.1.2.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 4.1.2.5.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 4.1.2.5.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Etapa 4.1.2.5.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 4.1.2.5.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 4.1.2.5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

Etapa 4.1.2.5.3.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

Etapa 4.1.2.5.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2}{4})$

Etapa 4.1.2.5.5

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.5.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2 (1)}{4})$

Etapa 4.1.2.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Etapa 4.1.2.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Etapa 4.1.2.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (\sqrt{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 4.1.2.6

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} + \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.1.2.6.2

Combine $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} + \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.1.2.7

Multiplique $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Multiplique $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.8.2

Multiplique $2 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.2.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.8.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.8.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.8.2.4

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.8.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.3.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.8.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.8.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.8.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.8.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.8.3.1.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.8.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 4}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.9

Para escrever $\frac{3 \sqrt{2} + 4}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} + 4}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.10

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.10.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{2} + 4}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 \sqrt{2} + 4) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 \sqrt{2} + 4) \cdot 2}{4} - \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(3 \sqrt{2} + 4) \cdot 2 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

Etapa 4.1.2.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} \cdot 2 + 4 \cdot 2 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

Etapa 4.1.2.12.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 4 \cdot 2 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

Etapa 4.1.2.12.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - (3 + 2 \sqrt{2})}{4}$

Etapa 4.1.2.12.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}{4}$

Etapa 4.1.2.12.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - 3 - (2 \sqrt{2})}{4}$

Etapa 4.1.2.12.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{6 \sqrt{2} + 8 - 3 - 2 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.12.7

Subtraia $2 \sqrt{2}$ de $6 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{8 - 3 + 4 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.12.8

Subtraia $3$ de $8$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.1.2.13

A resposta final é $\frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{\sqrt{2}}{2}$ em $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ é $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$

Etapa 4.3

Substitua $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ em $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = {((- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1)}^{2} (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Reescreva ${(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)}^{2}$ como $(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.2

Expanda $(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1.1

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.1.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.1.5

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.1.7

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.1.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.2.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 (1)}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.5

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1}{2} + \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{1 + 2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.4

Some $1$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.3.5

Subtraia $\frac{\sqrt{2}}{2}$ de $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{2}}{2})) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.4.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{2}}{2})) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.4.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - 1 \sqrt{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.4.1.2

Reescreva $- 1 \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (2 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (2 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Etapa 4.3.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.2.2.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}))$

Etapa 4.3.2.4.2.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})))$

Etapa 4.3.2.4.2.3

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.2.3.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 4.3.2.4.2.3.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.2.3.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})))$

Etapa 4.3.2.4.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 4.3.2.4.2.3.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} + {(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Etapa 4.3.2.4.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 4.3.2.4.2.5

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Etapa 4.3.2.4.2.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Etapa 4.3.2.4.2.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 4.3.2.4.2.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.2.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Etapa 4.3.2.4.2.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

Etapa 4.3.2.4.2.5.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2}{2^{2}})$

Etapa 4.3.2.4.2.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2}{4})$

Etapa 4.3.2.4.2.7

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.2.7.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2 (1)}{4})$

Etapa 4.3.2.4.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.2.7.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Etapa 4.3.2.4.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Etapa 4.3.2.4.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.5

Expanda $(\frac{3}{2} - \sqrt{2}) (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{2} - \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{2}) + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (- \sqrt{2}) + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.2

Multiplique $\frac{3}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1.2.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{2 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} - \sqrt{2} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.3

Multiplique $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.3.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.3.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + {\sqrt{2}}^{1 + 1} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.3.6

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + {\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.3.2.6.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.2.6.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2^{\frac{2}{2}} - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 - \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.5

Multiplique $- \sqrt{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Etapa 4.3.2.6.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 + 1 \sqrt{2} (\frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.5.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 + \sqrt{2} (\frac{1}{2})$

Etapa 4.3.2.6.1.5.3

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.3.2.6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2$

Etapa 4.3.2.6.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 4.3.2.6.4

Combine $2$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} - \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.3.2.6.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 4.3.2.6.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.6.6.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 + 8}{4}$

Etapa 4.3.2.6.6.2

Some $- 3$ e $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} + \frac{5}{4}$

Etapa 4.3.2.7

Some $- 3 \sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2} + \frac{5}{4}$

Etapa 4.3.2.8

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 4.3.2.8.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2} + \frac{5}{4}$

Etapa 4.3.2.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.2.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)} + \frac{5}{4}$

Etapa 4.3.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1} + \frac{5}{4}$

Etapa 4.3.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- \sqrt{2}}{1} + \frac{5}{4}$

Etapa 4.3.2.8.2.4

Divida $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} + \frac{5}{4}$

Etapa 4.3.2.9

A resposta final é $- \sqrt{2} + \frac{5}{4}$ .

$- \sqrt{2} + \frac{5}{4}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ em $f (x) = {(x + 1)}^{2} (2 x - x^{2})$ é $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4})$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.80710678$ na expressão.

$f'' (- 0.80710678) = - 12 {(- 0.80710678)}^{2} + 6$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 0.80710678$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 12 \cdot 0.65142135 + 6$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 7.81705627 + 6$

Etapa 6.2.2

Some $- 7.81705627$ e $6$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 1.81705627$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 1.81705627$ .

$- 1.81705627$

Etapa 6.3

Em $- 0.80710678$ , a segunda derivada é $- 1.81705627$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 6$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 6$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + 6$

Etapa 7.2.2

Some $0$ e $6$ .

$f'' (0) = 6$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $6$ .

$6$

Etapa 7.3

Em $0$ , a segunda derivada é $6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Acréscimo em $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.80710678$ na expressão.

$f'' (0.80710678) = - 12 {(0.80710678)}^{2} + 6$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $0.80710678$ à potência de $2$ .

$f'' (0.80710678) = - 12 \cdot 0.65142135 + 6$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = - 7.81705627 + 6$

Etapa 8.2.2

Some $- 7.81705627$ e $6$ .

$f'' (0.80710678) = - 1.81705627$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 1.81705627$ .

$- 1.81705627$

Etapa 8.3

Em $0.80710678$ , a segunda derivada é $- 1.81705627$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} + \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{5 + 4 \sqrt{2}}{4})$

Etapa 10