Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{8}{\sqrt{4 - x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 1.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.3.1

Reescreva $\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 1.3.2

Multiplique os expoentes em ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Etapa 1.3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Etapa 1.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Etapa 8

Combine ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{{(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Mova ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Etapa 9.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ e $- 8$ .

$\frac{- 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 11

Fatore $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.1

Fatore $2$ de $2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 ({(4 - x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

Etapa 14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 15

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 16

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 17

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 18

Multiplique.

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Etapa 18.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 18.2

Multiplique $\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 19

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Etapa 20

Simplifique a expressão.

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Etapa 20.1

Multiplique $\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 20.2

Reordene os termos.

$\frac{4}{{(- x + 4)}^{\frac{3}{2}}}$