Cálculo Exemplos

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1

Simplifique $\ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ .

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Etapa 1.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x \frac{2 x}{1 + x})$

Etapa 1.1.2

Multiplique $x \frac{2 x}{1 + x}$ .

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Etapa 1.1.2.1

Combine $x$ e $\frac{2 x}{1 + x}$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{x (2 x)}{1 + x})$

Etapa 1.1.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x)}{1 + x})$

Etapa 1.1.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{1 + x})$

Etapa 1.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{1 + 1}}{1 + x})$

Etapa 1.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (\frac{2 x^{2}}{1 + x})$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$\frac{x^{2}}{1 - x} = \frac{2 x^{2}}{1 + x}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda. Defina-o como igual ao produto do denominador da primeira fração e o numerador da segunda fração.

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) (2 x^{2})$

Etapa 3.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Simplifique $x^{2} (1 + x)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique somando os zeros.

$x^{2} (1 + x) = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Etapa 3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + x^{2} x = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Etapa 3.2.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.5.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.2.1.5.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} + x^{2} x^{1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Etapa 3.2.1.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} + x^{2 + 1} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Etapa 3.2.1.5.2

Some $2$ e $1$ .

$x^{2} + x^{3} = (1 - x) \cdot (2 x^{2})$

Etapa 3.2.2

Simplifique $(1 - x) \cdot (2 x^{2})$ .

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique multiplicando.

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Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + x^{3} = 1 (2 x^{2}) - x (2 x^{2})$

Etapa 3.2.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Multiplique $2 x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - x (2 x^{2})$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x \cdot x^{2}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.2.2.1.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x)$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.2.2.2.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{2} x^{1})$

Etapa 3.2.2.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2 + 1}$

Etapa 3.2.2.2.1.3

Some $2$ e $1$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3}$

Etapa 3.2.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x^{2} + x^{3} = 2 x^{2} - 2 x^{3}$

Etapa 3.2.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.3.1

Subtraia $2 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} = - 2 x^{3}$

Etapa 3.2.3.2

Some $2 x^{3}$ aos dois lados da equação.

$x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{3} = 0$

Etapa 3.2.3.3

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$x^{3} - x^{2} + 2 x^{3} = 0$

Etapa 3.2.3.4

Some $x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$3 x^{3} - x^{2} = 0$

Etapa 3.2.4

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{3} - x^{2}$ .

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Etapa 3.2.4.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{3}$ .

$x^{2} (3 x) - x^{2} = 0$

Etapa 3.2.4.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Etapa 3.2.4.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (3 x - 1) = 0$

Etapa 3.2.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

Etapa 3.2.6

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.2.6.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 3.2.6.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.2.6.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 3.2.6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.2.6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.2.6.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.2.7

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.2.7.1

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Etapa 3.2.7.2

Resolva $3 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.7.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Etapa 3.2.7.2.2

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.2.7.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 3.2.7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 3.2.7.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 3.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} (3 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{1}{3}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\ln (\frac{x^{2}}{1 - x}) = \ln (x) + \ln (\frac{2 x}{1 + x})$ verdadeira.

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$x = 0.\overline{3}$