Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{8 x - 9}{6 x^{2} + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 8 x - 9$ e $g (x) = 6 x^{2} + 1$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [8 x - 9] - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) (8 + 0) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $8$ e $0$ .

$\frac{(6 x^{2} + 1) \cdot 8 - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $8$ para a esquerda de $6 x^{2} + 1$ .

$\frac{8 \cdot (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 1]}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (12 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (12 x + 0)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.12.1

Some $12 x$ e $0$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - (8 x - 9) (12 x)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.12.2

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$\frac{8 (6 x^{2} + 1) - 12 (8 x - 9) x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 (6 x^{2}) + 8 \cdot 1 - 12 (8 x - 9) x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 (6 x^{2}) + 8 \cdot 1 + (- 12 (8 x) - 12 \cdot - 9) x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{8 (6 x^{2}) + 8 \cdot 1 - 12 (8 x) x - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique $6$ por $8$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 \cdot 1 - 12 (8 x) x - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 - 12 (8 x) x - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 - 12 (8 (x \cdot x)) - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 - 12 (8 x^{2}) - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.4

Multiplique $8$ por $- 12$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 - 96 x^{2} - 12 \cdot - 9 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5

Multiplique $- 12$ por $- 9$ .

$\frac{48 x^{2} + 8 - 96 x^{2} + 108 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $96 x^{2}$ de $48 x^{2}$ .

$\frac{- 48 x^{2} + 8 + 108 x}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$\frac{- 48 x^{2} + 108 x + 8}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore $4$ de $- 48 x^{2} + 108 x + 8$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $4$ de $- 48 x^{2}$ .

$\frac{4 (- 12 x^{2}) + 108 x + 8}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Fatore $4$ de $108 x$ .

$\frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 (27 x) + 8}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 (- 12 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 (2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.4

Fatore $4$ de $4 (- 12 x^{2}) + 4 (27 x)$ .

$\frac{4 (- 12 x^{2} + 27 x) + 4 (2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.5

Fatore $4$ de $4 (- 12 x^{2} + 27 x) + 4 (2)$ .

$\frac{4 (- 12 x^{2} + 27 x + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.7

Fatore $- 1$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{4 (- (12 x^{2}) + 27 x + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.8

Fatore $- 1$ de $27 x$ .

$\frac{4 (- (12 x^{2}) - (- 27 x) + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.9

Fatore $- 1$ de $- (12 x^{2}) - (- 27 x)$ .

$\frac{4 (- (12 x^{2} - 27 x) + 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.10

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 2))}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.11

Fatore $- 1$ de $- (12 x^{2} - 27 x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (12 x^{2} - 27 x - 2))}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.12

Reescreva $- (12 x^{2} - 27 x - 2)$ como $- 1 (12 x^{2} - 27 x - 2)$ .

$\frac{4 (- 1 (12 x^{2} - 27 x - 2))}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 (12 x^{2} - 27 x - 2)}{{(6 x^{2} + 1)}^{2}}$