Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3}{x - 4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{x - 4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 4}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{1}{x - 4}$ como ${(x - 4)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 4$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 4$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$3 (- {(x - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 ({(x - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 3 {(x - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 {(x - 4)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 3.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 {(x - 4)}^{- 2} (1 + 0)$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$- 3 {(x - 4)}^{- 2} \cdot 1$

Etapa 3.5.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3 {(x - 4)}^{- 2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{{(x - 4)}^{2}}$