Cálculo Exemplos

$f (x) = \sec^{4} (2 x^{2})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \sec (2 x^{2})$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (2 x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x^{2})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (2 x^{2})]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (2 x^{2})$ .

$4 \sec^{3} (2 x^{2}) \frac{d}{d x} [\sec (2 x^{2})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x^{2}$ .

$4 \sec^{3} (2 x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{2}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$4 \sec^{3} (2 x^{2}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x^{2}$ .

$4 \sec^{3} (2 x^{2}) (\sec (2 x^{2}) \tan (2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2}])$

Etapa 3

Eleve $\sec (2 x^{2})$ à potência de $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x^{2}) \sec^{3} (2 x^{2})) (\tan (2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2}])$

Etapa 4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 {\sec (2 x^{2})}^{1 + 3} (\tan (2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2}])$

Etapa 5

Some $1$ e $3$ .

$4 \sec^{4} (2 x^{2}) (\tan (2 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2}])$

Etapa 6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \sec^{4} (2 x^{2}) \tan (2 x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 7

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 \sec^{4} (2 x^{2}) \tan (2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 \sec^{4} (2 x^{2}) \tan (2 x^{2}) (2 x)$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 \sec^{4} (2 x^{2}) \tan (2 x^{2}) x$

Etapa 9.2

Reordene os fatores de $16 \sec^{4} (2 x^{2}) \tan (2 x^{2}) x$ .

$16 x \sec^{4} (2 x^{2}) \tan (2 x^{2})$