Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 x - 4}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x - 4$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} + 1$ .

$\frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2.10.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 (x^{2} + 1) - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Subtraia $6 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 3 + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$\frac{- 3 x^{2} + 8 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.6.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 3 \cdot 3 = - 9$ e cuja soma é $b = 8$ .

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Etapa 3.6.1.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 8 (x) + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.1.2

Reescreva $8$ como $- 1$ mais $9$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 1 + 9) x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 3 x^{2} - 1 x + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.6.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- 3 x^{2} - 1 x) + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- 3 x - 1) - 3 (- 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 3 x - 1$ .

$\frac{(- 3 x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.7

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{(- (3 x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.8

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (3 x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.9

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.10

Reescreva $- (3 x + 1)$ como $- 1 (3 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$