Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{5}{x} + \frac{8}{x^{4}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{5}{x} + \frac{8}{x^{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt{x}}]$ .

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.6.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$4 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.13

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.14

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.14.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.14.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.14.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.14.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.14.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.14.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$4 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.14.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.15

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.16

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.17

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.18

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.19

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.19.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.19.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.19.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 2.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5}{x}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} - 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 3.4

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{4}}]$ .

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Etapa 4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{x^{4}}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Etapa 4.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{4}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{4}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Etapa 4.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 4.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Etapa 4.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Etapa 4.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Etapa 4.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.7.1

Mova $x^{3}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Etapa 4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- 4 x^{3 - 8})$

Etapa 4.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} + 8 (- 4 x^{- 5})$

Etapa 4.8

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 x^{- 2} - 32 x^{- 5}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 \frac{1}{x^{2}} - 32 x^{- 5}$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + 5 \frac{1}{x^{2}} - 32 \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 5.3

Combine os termos.

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Etapa 5.3.1

Combine $5$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{5}{x^{2}} - 32 \frac{1}{x^{5}}$

Etapa 5.3.2

Combine $- 32$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{- 32}{x^{5}}$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{32}{x^{5}}$

Etapa 5.4

Reordene os termos.

$\frac{5}{x^{2}} - \frac{32}{x^{5}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$