Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + 40 x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 40 x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $40$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $32$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $- 4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 4$ por $x$ .

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 lim_{x \to - 4} x + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 4$ por $x$ .

$\frac{8 {(- 4)}^{2} + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.7.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$\frac{8 \cdot 16 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Multiplique $8$ por $16$ .

$\frac{128 + 40 \cdot - 4 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Multiplique $40$ por $- 4$ .

$\frac{128 - 160 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.7.2

Subtraia $160$ de $128$ .

$\frac{- 32 + 32}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.7.3

Some $- 32$ e $32$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 4$ por $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Etapa 1.1.3.3

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 4} \frac{8 x^{2} + 40 x + 32}{x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2} + 40 x + 32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{2} + 40 x + 32$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{8 (2 x) + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [40 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $40$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $40 x$ em relação a $x$ é $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $40$ por $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + \frac{d}{d x} [32]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.5

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.6

Some $16 x + 40$ e $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Etapa 1.3.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{16 x + 40}{1}$

Etapa 1.4

Divida $16 x + 40$ por $1$ .

$lim_{x \to - 4} 16 x + 40$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$lim_{x \to - 4} 16 x + lim_{x \to - 4} 40$

Etapa 2.2

Mova o termo $16$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$16 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 40$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $40$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$16 lim_{x \to - 4} x + 40$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 4$ por $x$ .

$16 \cdot - 4 + 40$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $16$ por $- 4$ .

$- 64 + 40$

Etapa 4.2

Some $- 64$ e $40$ .

$- 24$