Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} + 7 x - \ln (x^{2} + 1)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 7 x - \ln (x^{2} + 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 3.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$4 x + 7 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x^{2} + 1)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$4 x + 7 - \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$4 x + 7 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 4.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 4.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Etapa 4.6

Some $2 x$ e $0$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Etapa 4.7

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$4 x + 7 - (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Etapa 4.8

Combine $\frac{2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$4 x + 7 - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para escrever $4 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} - \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 7$

Etapa 5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x}{x^{2} + 1} + 7$

Etapa 5.3

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x}{x^{2} + 1} + \frac{7 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x + 7 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$