Cálculo Exemplos

$z = (4 - t) {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (z) = \frac{d}{d t} ((4 - t) {(9 + t^{2})}^{- 1})$

Etapa 2

A derivada de $z$ em relação a $t$ é $z'$ .

$z'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = 4 - t$ e $g (t) = {(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(4 - t) \frac{d}{d t} [{(9 + t^{2})}^{- 1}] + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 9 + t^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 + t^{2}$ .

$(4 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$(4 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 + t^{2}$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [9 + t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 + t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Etapa 3.3.2

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9$ em relação a $t$ é $0$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Etapa 3.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(4 - t) (- {(9 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Etapa 3.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 - t]$

Etapa 3.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 3.3.7

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4$ em relação a $t$ é $0$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 3.3.8

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 3.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 3.3.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.11.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) + {(9 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

Etapa 3.3.11.2

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Etapa 3.3.11.3

Reescreva $- 1 {(9 + t^{2})}^{- 1}$ como $- {(9 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(4 - t) (- 2 {(9 + t^{2})}^{- 2} t) - {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 - t) (- 2 \frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - {(9 + t^{2})}^{- 1}$

Etapa 3.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(4 - t) (- 2 \frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Etapa 3.4.3

Combine os termos.

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Etapa 3.4.3.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(9 + t^{2})}^{2}}$ .

$(4 - t) (\frac{- 2}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Etapa 3.4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(4 - t) (- \frac{2}{{(9 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Etapa 3.4.3.3

Combine $t$ e $\frac{2}{{(9 + t^{2})}^{2}}$ .

$(4 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(9 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Etapa 3.4.3.4

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$(4 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Etapa 3.4.3.5

Para escrever $(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}}$ .

$(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}} - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Etapa 3.4.3.6

Combine $(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}})$ e $\frac{9 + t^{2}}{9 + t^{2}}$ .

$\frac{(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) (9 + t^{2})}{9 + t^{2}} - \frac{1}{9 + t^{2}}$

Etapa 3.4.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(4 - t) (- \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}}) (9 + t^{2}) - 1}{9 + t^{2}}$

Etapa 3.4.4

Reordene os termos.

$\frac{- (4 - t) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.5.1

Fatore $- 1$ de $- (4 - t) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1$ .

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Etapa 3.4.5.1.1

Reordene a expressão.

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Etapa 3.4.5.1.1.1

Reordene $4$ e $- t$ .

$\frac{- (- t + 4) (9 + t^{2}) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.1.1.2

Reordene $9$ e $t^{2}$ .

$\frac{- (- t + 4) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(9 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.1.1.3

Reordene $9$ e $t^{2}$ .

$\frac{- (- t + 4) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} - 1}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.1.2

Fatore $- 1$ de $- (- t + 4) (t^{2} + 9) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.1.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.1.4

Fatore $- 1$ de $- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (((- t + 4) (t^{2} + 9)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.2

Cancele o fator comum de $t^{2} + 9$ .

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Etapa 3.4.5.2.1

Fatore $t^{2} + 9$ de $(- t + 4) (t^{2} + 9)$ .

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 4) \frac{2 t}{{(t^{2} + 9)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.2.2

Fatore $t^{2} + 9$ de ${(t^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 4) \frac{2 t}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)} + 1)}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- ((t^{2} + 9) (- t + 4) \frac{2 t}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)} + 1)}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- ((- t + 4) \frac{2 t}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.3

Multiplique $- t + 4$ por $\frac{2 t}{t^{2} + 9}$ .

$\frac{- (\frac{(- t + 4) (2 t)}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.4

Mova $2$ para a esquerda de $- t + 4$ .

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 4) t}{t^{2} + 9} + 1)}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{- (\frac{2 (- t + 4) t}{t^{2} + 9} + \frac{t^{2} + 9}{t^{2} + 9})}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \frac{2 (- t + 4) t + t^{2} + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.7

Reordene os termos.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 4) + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.8

Reescreva $\frac{t^{2} + 2 t (- t + 4) + 9}{t^{2} + 9}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 3.4.5.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 4 + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.8.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 4 + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.8.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.8.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.5.8.4.1

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.5.8.4.1.1

Mova $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.8.4.1.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.8.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.8.5

Subtraia $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{- \frac{- t^{2} + 8 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.8.6

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.4.5.8.6.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ e cuja soma é $b = 8$ .

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Etapa 3.4.5.8.6.1.1

Fatore $8$ de $8 t$ .

$\frac{- \frac{- t^{2} + 8 (t) + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.8.6.1.2

Reescreva $8$ como $- 1$ mais $9$

$\frac{- \frac{- t^{2} + (- 1 + 9) t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.8.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \frac{- t^{2} - 1 t + 9 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.8.6.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.4.5.8.6.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{- \frac{(- t^{2} - 1 t) + 9 t + 9}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.8.6.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{- \frac{t (- t - 1) - 9 (- t - 1)}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.5.8.6.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- t - 1$ .

$\frac{- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9}}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9} \cdot \frac{1}{t^{2} + 9}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9} \cdot \frac{1}{t^{2} + 9}$ .

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Etapa 3.4.7.1

Multiplique $\frac{1}{t^{2} + 9}$ por $\frac{(- t - 1) (t - 9)}{t^{2} + 9}$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{(t^{2} + 9) (t^{2} + 9)}$

Etapa 3.4.7.2

Eleve $t^{2} + 9$ à potência de $1$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{1} (t^{2} + 9)}$

Etapa 3.4.7.3

Eleve $t^{2} + 9$ à potência de $1$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{1} {(t^{2} + 9)}^{1}}$

Etapa 3.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{(- t - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.4.8

Fatore $- 1$ de $- t$ .

$- \frac{(- (t) - 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.4.9

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- \frac{(- (t) - 1 (1)) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.4.10

Fatore $- 1$ de $- (t) - 1 (1)$ .

$- \frac{- (t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.4.11

Reescreva $- (t + 1)$ como $- 1 (t + 1)$ .

$- \frac{- 1 (t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.4.13

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 3.4.14

Multiplique $\frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$z' = \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $z'$ por $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{d z}{d t} = \frac{(t + 1) (t - 9)}{{(t^{2} + 9)}^{2}}$