Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} - 1 - 5 x}{x^{2}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1 - 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.7.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.7.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.7.1.4

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.7.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.7.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} - 1 - 5 x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1 - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{5 x} - 1 - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.5

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 3.5.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} + 0 - 5}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.6

Some $5 e^{5 x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{2 x}$

Etapa 4

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{x}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 e^{5 x} - 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 e^{5 x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.1.2

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.1.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.1.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.1.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.3.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 e^{0} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.3.1.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 - 5}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.3.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} - 5}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 e^{5 x} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]$ .

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Etapa 5.3.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 e^{5 x}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \cdot 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.6

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 5 \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.7

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5

Some $25 e^{5 x}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{25 e^{5 x}}{1}$

Etapa 5.4

Divida $25 e^{5 x}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 25 e^{5 x}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Mova o termo $25$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 lim_{x \to 0} e^{5 x}$

Etapa 6.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{2} \cdot 25 e^{lim_{x \to 0} 5 x}$

Etapa 6.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 e^{5 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 7

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 e^{5 \cdot 0}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $25$ .

$\frac{25}{2} e^{5 \cdot 0}$

Etapa 8.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{25}{2} e^{0}$

Etapa 8.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1$

Etapa 8.4

Multiplique $\frac{25}{2}$ por $1$ .

$\frac{25}{2}$