Cálculo Exemplos

$f (x) = 8 \sin^{6} (\sqrt{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 \sin^{6} (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 \sin^{6} (x^{\frac{1}{2}})$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = \sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$8 (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$8 (6 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Etapa 3

Multiplique $6$ por $8$ .

$48 (\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 12

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $48$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 48}{2} \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 13

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 48}{2}$ e $\sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})}{2} \cos (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 14

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}})}{2}$ e $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 15

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.1

Mova $48$ para a esquerda de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{48 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 15.2

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16

Fatore $2$ de $48 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (24 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 17.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (24 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 17.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (24 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.3

Reescreva a expressão.

$\frac{24 \sin^{5} (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$