Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x {(x^{4} + 1)}^{5}$

Etapa 1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x {(x^{4} + 1)}^{5}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x {(x^{4} + 1)}^{5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(x^{4} + 1)}^{5}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{4} + 1)}^{5}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 1)}^{5}] + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} + 1$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 (x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} + 1$ .

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3} + 0)) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$5 (x (5 {(x^{4} + 1)}^{4} (4 x^{3})) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$5 (x (20 {(x^{4} + 1)}^{4} x^{3}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 (x^{3} x^{1} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 (x^{3 + 1} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Some $3$ e $1$ .

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5} \cdot 1)$

Etapa 9

Multiplique ${(x^{4} + 1)}^{5}$ por $1$ .

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4}) + {(x^{4} + 1)}^{5})$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (x^{4} (20 {(x^{4} + 1)}^{4})) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

Etapa 10.2

Multiplique $20$ por $5$ .

$100 (x^{4} ({(x^{4} + 1)}^{4})) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

Etapa 10.3

Fatore $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ de $100 x^{4} {(x^{4} + 1)}^{4} + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Fatore $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ de $100 x^{4} {(x^{4} + 1)}^{4}$ .

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{5}$

Etapa 10.3.2

Fatore $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ de $5 {(x^{4} + 1)}^{5}$ .

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{4} (x^{4} + 1)$

Etapa 10.3.3

Fatore $5 {(x^{4} + 1)}^{4}$ de $5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4}) + 5 {(x^{4} + 1)}^{4} (x^{4} + 1)$ .

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (20 x^{4} + x^{4} + 1)$

Etapa 10.4

Some $20 x^{4}$ e $x^{4}$ .

$5 {(x^{4} + 1)}^{4} (21 x^{4} + 1)$