Cálculo Exemplos

$f (x) = \cos (3 x) \ln (x^{4})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (3 x)$ e $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{4}$ .

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\cos (3 x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{4}$ .

$\cos (3 x) (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{x^{4}}$ e $\cos (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x)}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{\cos (3 x)}{x^{4}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Etapa 3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1

Combine $4$ e $\frac{\cos (3 x)}{x^{4}}$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x^{4}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{4 \cos (3 x)}{x^{4}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 \cos (3 x) x^{3}}{x^{4}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{4}$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $x^{3}$ de $4 \cos (3 x) x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (4 \cos (3 x))}{x^{4}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Etapa 3.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.3.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} (4 \cos (3 x))}{x^{3} x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Etapa 3.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} (4 \cos (3 x))}{x^{3} x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Etapa 3.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 4.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- 3 \sin (3 x) \cdot 1)$

Etapa 5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- 3 \sin (3 x))$

Etapa 5.4.2

Reordene os termos.

$- 3 \sin (3 x) \ln (x^{4}) + \frac{4 \cos (3 x)}{x}$