Cálculo Exemplos

$\ln (x^{2} - 4 x + 20)$

Etapa 1

Escreva $\ln (x^{2} - 4 x + 20)$ como uma função.

$f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 20)$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4 x + 20$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Etapa 2.1.1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Etapa 2.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4 x + 20$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x + 20$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Etapa 2.1.1.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])$

Etapa 2.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])$

Etapa 2.1.1.2.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [20])$

Etapa 2.1.1.2.6

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4 + 0)$

Etapa 2.1.1.2.7

Some $2 x - 4$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4)$

Etapa 2.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$

Etapa 2.1.1.3.2

Multiplique $2 x - 4$ por $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 20}$

Etapa 2.1.1.3.3

Fatore $2$ de $2 x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.3.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 20}$

Etapa 2.1.1.3.3.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 20}$

Etapa 2.1.1.3.3.3

Fatore $2$ de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 20}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 20}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 20}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 20}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 2$ e $g (x) = x^{2} - 4 x + 20$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 20) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.4.2

Multiplique $x^{2} - 4 x + 20$ por $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 20]}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x + 20$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.7

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.9

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [20])}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.10

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.11.1

Some $2 x - 4$ e $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.3.11.2

Combine $2$ e $\frac{x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 20 - (x - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 20 + (- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 20 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.3.1.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 20 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.2

Multiplique $2$ por $20$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.4

Expanda $(- x + 2) (2 x - 4)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.3.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x - 4) + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.3.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.3.1.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.3.1.5.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.5.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.5.1.4

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.5.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.5.1.6

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.5.2

Some $4 x$ e $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.3.1.7.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.7.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 16 x + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.1.7.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 40 - 4 x^{2} + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 8 x + 40 + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.3

Some $- 8 x$ e $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 40 - 16}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.3.4

Subtraia $16$ de $40$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.4.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} + 8 x + 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.4.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.4.1.2

Fatore $2$ de $8 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 24}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.4.1.3

Fatore $2$ de $24$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.4.1.4

Fatore $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.4.1.5

Fatore $2$ de $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (12)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.4.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.4.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ e cuja soma é $b = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.4.2.1.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.4.2.1.2

Reescreva $4$ como $- 2$ mais $6$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 2 + 6) x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.4.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- x^{2} - 2 x + 6 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.4.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{2 ((- x^{2} - 2 x) + 6 x + 12)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.4.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 (x (- x - 2) - 6 (- x - 2))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.4.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 2$ .

$\frac{2 ((- x - 2) (x - 6))}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.6

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.8

Reescreva $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(2 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.2.4.10

Reordene os fatores em $- \frac{(2 (x + 2)) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2 (x + 2) (x - 6)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (x + 2) (x - 6) = 0$

Etapa 2.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Etapa 2.2.3.2

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.2.3.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.2.3.3

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.3.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 2.2.3.3.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 2.2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x + 2) (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 6$

Etapa 3

Encontre o domínio de $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 20)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o argumento em $\ln (x^{2} - 4 x + 20)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} - 4 x + 20 > 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} - 4 x + 20 = 0$

Etapa 3.2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.2.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = 20$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 20)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.4.1.3

Subtraia $80$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.4.1.4

Reescreva $- 64$ como $- 1 (64)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (64)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.4.1.7

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.4.1.9

Mova $8$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

Etapa 3.2.4.3

Simplifique $\frac{4 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 4 i$

Etapa 3.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.5.1.3

Subtraia $80$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.5.1.4

Reescreva $- 64$ como $- 1 (64)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (64)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.5.1.7

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.5.1.9

Mova $8$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

Etapa 3.2.5.3

Simplifique $\frac{4 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 4 i$

Etapa 3.2.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 2 + 4 i$

Etapa 3.2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.1.3

Subtraia $80$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.1.4

Reescreva $- 64$ como $- 1 (64)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (64)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.1.7

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.1.9

Mova $8$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2}$

Etapa 3.2.6.3

Simplifique $\frac{4 \pm 8 i}{2}$ .

$x = 2 \pm 4 i$

Etapa 3.2.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 2 - 4 i$

Etapa 3.2.7

Identifique o coeficiente de maior ordem.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.7.1

O termo de maior ordem em um polinômio é o termo com o grau mais alto.

$x^{2}$

Etapa 3.2.7.2

O coeficiente de maior ordem de um polinômio é o coeficiente do termo de maior ordem.

$1$

Etapa 3.2.8

Como não há intersecções reais com o eixo x e o coeficiente de maior ordem é positivo, a parábola abre para cima e $x^{2} - 4 x + 20$ é sempre maior do que $0$ .

Todos os números reais

Etapa 3.3

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 6) \cup (6, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 2) ((- 4) - 6)}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Some $- 4$ e $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 2 (- 4 - 6))}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 (- 4 - 6)}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.3

Subtraia $6$ de $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{({(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{(16 - 4 \cdot - 4 + 20)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{(16 + 16 + 20)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.3

Some $16$ e $16$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{{(32 + 20)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.4

Some $32$ e $20$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{52^{2}}$

Etapa 5.2.2.5

Eleve $52$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 4 \cdot - 10}{2704}$

Etapa 5.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $- 4$ por $- 10$ .

$f'' (- 4) = - \frac{40}{2704}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $40$ e $2704$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $8$ de $40$ .

$f'' (- 4) = - \frac{8 (5)}{2704}$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.2.1

Fatore $8$ de $2704$ .

$f'' (- 4) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Etapa 5.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- 4) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Etapa 5.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- 4) = - \frac{5}{338}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 2)$ porque $f'' (- 4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 2, 6)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 2) ((0) - 6)}{{({(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Some $0$ e $2$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (2 (0 - 6))}{{(0^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (0 - 6)}{{(0^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.3

Subtraia $6$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0^{2} - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0 - 4 \cdot 0 + 20)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0 + 0 + 20)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Some $0$ e $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{{(0 + 20)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.4

Some $0$ e $20$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{20^{2}}$

Etapa 6.2.2.5

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot - 6}{400}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $4$ por $- 6$ .

$f'' (0) = - \frac{- 24}{400}$

Etapa 6.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 24$ e $400$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Fatore $8$ de $- 24$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (- 3)}{400}$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1

Fatore $8$ de $400$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 50}$

Etapa 6.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 50}$

Etapa 6.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = - \frac{- 3}{50}$

Etapa 6.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = \frac{3}{50}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{3}{50}$ .

$\frac{3}{50}$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 2, 6)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 2, 6)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Substitua qualquer número do intervalo $(6, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f'' (8) = - \frac{2 ((8) + 2) ((8) - 6)}{{({(8)}^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Some $8$ e $2$ .

$f'' (8) = - \frac{2 \cdot (10 (8 - 6))}{{(8^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$f'' (8) = - \frac{20 (8 - 6)}{{(8^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Subtraia $6$ de $8$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(8^{2} - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(64 - 4 \cdot 8 + 20)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(64 - 32 + 20)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Subtraia $32$ de $64$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{{(32 + 20)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.4

Some $32$ e $20$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{52^{2}}$

Etapa 7.2.2.5

Eleve $52$ à potência de $2$ .

$f'' (8) = - \frac{20 \cdot 2}{2704}$

Etapa 7.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $20$ por $2$ .

$f'' (8) = - \frac{40}{2704}$

Etapa 7.2.3.2

Cancele o fator comum de $40$ e $2704$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.1

Fatore $8$ de $40$ .

$f'' (8) = - \frac{8 (5)}{2704}$

Etapa 7.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.2.1

Fatore $8$ de $2704$ .

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Etapa 7.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 5}{8 \cdot 338}$

Etapa 7.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (8) = - \frac{5}{338}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

Etapa 7.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(6, \infty)$ porque $f'' (8)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(6, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 8

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 2, 6)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(6, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 9