Cálculo Exemplos

$x e^{x}$

Etapa 1

Escreva $x e^{x}$ como uma função.

$f (x) = x e^{x}$

Etapa 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 2.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Etapa 2.1.1.3.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Etapa 2.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x e^{x} + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.1.2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.1.2.2.4

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.1.2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Etapa 2.1.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.2.4.1

Some $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 2.1.2.4.2

Reordene os termos.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Etapa 2.1.2.4.3

Reordene os fatores em $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 2.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 2.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

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Etapa 2.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $e^{x}$ de $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore $e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

Etapa 2.2.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x + 2) = 0$

Etapa 2.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 2.2.4

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.4.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 2.2.4.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 2.2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.2.4.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.2.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.2.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2$

Etapa 3

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = (- 4) \cdot e^{- 4} + 2 e^{- 4}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - 4 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Etapa 5.2.1.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Etapa 5.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 e^{- 4}$

Etapa 5.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + 2 (\frac{1}{e^{4}})$

Etapa 5.2.1.5

Combine $2$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4}{e^{4}} + \frac{2}{e^{4}}$

Etapa 5.2.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (- 4) = \frac{- 4 + 2}{e^{4}}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.2.2.1

Some $- 4$ e $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 2}{e^{4}}$

Etapa 5.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 4) = - \frac{2}{e^{4}}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- \frac{2}{e^{4}}$ .

$- \frac{2}{e^{4}}$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, - 2)$ porque $f'' (- 4)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(- 2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = (0) \cdot e^{0} + 2 e^{0}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2 e^{0}$

Etapa 6.2.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Etapa 6.2.2

Some $0$ e $2$ .

$f'' (0) = 2$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- 2, \infty)$ porque $f'' (0)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- 2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(- 2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8