Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (\sqrt[4]{x})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{4}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{4}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Etapa 7.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Etapa 8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Etapa 10

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ por $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} \cdot 4}$

Etapa 11

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.1

Mova $4$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4 \cdot x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 11.2

Mova $x^{- \frac{3}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 12

Simplifique o denominador.

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Etapa 12.1

Multiplique $x^{\frac{1}{4}}$ por $x^{\frac{3}{4}}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.1.1

Mova $x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{4 (x^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{4}})}$

Etapa 12.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{4 x^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}}$

Etapa 12.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4 x^{\frac{3 + 1}{4}}}$

Etapa 12.1.4

Some $3$ e $1$ .

$\frac{1}{4 x^{\frac{4}{4}}}$

Etapa 12.1.5

Divida $4$ por $4$ .

$\frac{1}{4 x^{1}}$

Etapa 12.2

Simplifique $4 x^{1}$ .

$\frac{1}{4 x}$