Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{5} - 10 x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 10 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 10$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $5 x^{4} - 30 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $5 x^{4} - 30 x^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$5 x^{4} - 30 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$5 {(x^{2})}^{2} - 30 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$5 u^{2} - 30 u = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $5 u$ de $5 u^{2} - 30 u$ .

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Etapa 2.2.3.1

Fatore $5 u$ de $5 u^{2}$ .

$5 u (u) - 30 u = 0$

Etapa 2.2.3.2

Fatore $5 u$ de $- 30 u$ .

$5 u (u) + 5 u (- 6) = 0$

Etapa 2.2.3.3

Fatore $5 u$ de $5 u (u) + 5 u (- 6)$ .

$5 u (u - 6) = 0$

Etapa 2.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$5 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - 6$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - 6 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 6$

Etapa 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

Etapa 2.5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{6}$

Etapa 2.5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{6}$

Etapa 2.5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $5 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{5} - 10 x^{3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{5} - 10 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 10 {(0)}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 10 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \sqrt{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $\sqrt{6}$ por $x$ .

${(\sqrt{6})}^{5} - 10 {(\sqrt{6})}^{3}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{6}}^{5}$ como $\sqrt{6^{5}}$ .

$\sqrt{6^{5}} - 10 {(\sqrt{6})}^{3}$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $6$ à potência de $5$ .

$\sqrt{7776} - 10 {(\sqrt{6})}^{3}$

Etapa 4.2.2.1.3

Reescreva $7776$ como $36^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.1

Fatore $1296$ de $7776$ .

$\sqrt{1296 (6)} - 10 {(\sqrt{6})}^{3}$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Reescreva $1296$ como $36^{2}$ .

$\sqrt{36^{2} \cdot 6} - 10 {(\sqrt{6})}^{3}$

Etapa 4.2.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$36 \sqrt{6} - 10 {(\sqrt{6})}^{3}$

Etapa 4.2.2.1.5

Reescreva ${\sqrt{6}}^{3}$ como $\sqrt{6^{3}}$ .

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{6^{3}}$

Etapa 4.2.2.1.6

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{216}$

Etapa 4.2.2.1.7

Reescreva $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.7.1

Fatore $36$ de $216$ .

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{36 (6)}$

Etapa 4.2.2.1.7.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{6^{2} \cdot 6}$

Etapa 4.2.2.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$36 \sqrt{6} - 10 (6 \sqrt{6})$

Etapa 4.2.2.1.9

Multiplique $6$ por $- 10$ .

$36 \sqrt{6} - 60 \sqrt{6}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $60 \sqrt{6}$ de $36 \sqrt{6}$ .

$- 24 \sqrt{6}$

Etapa 4.3

Avalie em $x = - \sqrt{6}$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $- \sqrt{6}$ por $x$ .

${(- \sqrt{6})}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{6}$ .

${(- 1)}^{5} {\sqrt{6}}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$- {\sqrt{6}}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{6}}^{5}$ como $\sqrt{6^{5}}$ .

$- \sqrt{6^{5}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.4

Eleve $6$ à potência de $5$ .

$- \sqrt{7776} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.5

Reescreva $7776$ como $36^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.5.1

Fatore $1296$ de $7776$ .

$- \sqrt{1296 (6)} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.5.2

Reescreva $1296$ como $36^{2}$ .

$- \sqrt{36^{2} \cdot 6} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$- (36 \sqrt{6}) - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.7

Multiplique $36$ por $- 1$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3}$

Etapa 4.3.2.1.8

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{6}$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3})$

Etapa 4.3.2.1.9

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- {\sqrt{6}}^{3})$

Etapa 4.3.2.1.10

Reescreva ${\sqrt{6}}^{3}$ como $\sqrt{6^{3}}$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{6^{3}})$

Etapa 4.3.2.1.11

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{216})$

Etapa 4.3.2.1.12

Reescreva $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.12.1

Fatore $36$ de $216$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{36 (6)})$

Etapa 4.3.2.1.12.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{6^{2} \cdot 6})$

Etapa 4.3.2.1.13

Elimine os termos abaixo do radical.

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- (6 \sqrt{6}))$

Etapa 4.3.2.1.14

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- 6 \sqrt{6})$

Etapa 4.3.2.1.15

Multiplique $- 6$ por $- 10$ .

$- 36 \sqrt{6} + 60 \sqrt{6}$

Etapa 4.3.2.2

Some $- 36 \sqrt{6}$ e $60 \sqrt{6}$ .

$24 \sqrt{6}$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (\sqrt{6}, - 24 \sqrt{6}), (- \sqrt{6}, 24 \sqrt{6})$

Etapa 5