Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.5

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.7

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.8

Como $189$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $189 x$ em relação a $x$ é $189 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.10

Multiplique $189$ por $1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 + 0)$

Etapa 2.12

Some $- 3 x^{2} + 6 x + 189$ e $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189)$ .

$(- 3 x^{2} + 6 x + 189) \frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.2

Multiplique $- 3 x^{2} + 6 x + 189$ por $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 189}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2} + 6 x + 189$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 6 x + 189}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.3.1.2

Fatore $3$ de $6 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 189}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.3.1.3

Fatore $3$ de $189$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.3.1.4

Fatore $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.3.1.5

Fatore $3$ de $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (63)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.3.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 63 = - 63$ e cuja soma é $b = 2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 (x) + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva $2$ como $- 7$ mais $9$

$\frac{3 (- x^{2} + (- 7 + 9) x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (- x^{2} - 7 x + 9 x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{3 ((- x^{2} - 7 x) + 9 x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.3.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{3 (x (- x - 7) - 9 (- x - 7))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.3.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x - 7$ .

$\frac{3 ((- x - 7) (x - 9))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 7) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 7) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.5

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (7)) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (7)$ .

$\frac{3 (- (x + 7)) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.7

Reescreva $- (x + 7)$ como $- 1 (x + 7)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.8

Fatore $- 1$ de $- x^{3}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Etapa 3.9

Fatore $- 1$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) + 189 x + 1}$

Etapa 3.10

Fatore $- 1$ de $- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) + 189 x + 1}$

Etapa 3.11

Fatore $- 1$ de $189 x$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 189 x) + 1}$

Etapa 3.12

Fatore $- 1$ de $- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 189 x)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x) + 1}$

Etapa 3.13

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x) - 1 (- 1)}$

Etapa 3.14

Fatore $- 1$ de $- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)}$

Etapa 3.15

Reescreva $- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)$ como $- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)}$

Etapa 3.16

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)}$

Etapa 3.17

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (x + 7) (x - 9)}{x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1}$