Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ como uma equação.

$y = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$

Etapa 3.2

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{y + 1}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 = x$

Etapa 3.2.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = x$

Etapa 3.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} = x$

Etapa 3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{y + 1} - 2 \cdot 2}{2} = x$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{e^{y + 1} - 4}{2} = x$

Etapa 3.3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Etapa 3.4.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{y + 1} - 4 = 2 x$

Etapa 3.5

Some $4$ aos dois lados da equação.

$e^{y + 1} = 2 x + 4$

Etapa 3.6

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (2 x + 4)$

Etapa 3.7

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Expanda $\ln (e^{y + 1})$ movendo $y + 1$ para fora do logaritmo.

$(y + 1) \ln (e) = \ln (2 x + 4)$

Etapa 3.7.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (2 x + 4)$

Etapa 3.7.3

Multiplique $y + 1$ por $1$ .

$y + 1 = \ln (2 x + 4)$

Etapa 3.8

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = \ln (2 x + 4) - 1$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) + 4) - 1$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2) + 4) - 1$

Etapa 5.2.3.1.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 4) - 1$

Etapa 5.2.3.1.3

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Etapa 5.2.3.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Etapa 5.2.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Etapa 5.2.3.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.6.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Etapa 5.2.3.1.6.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} - 4 + 4) - 1$

Etapa 5.2.3.2

Combine os termos opostos em $e^{x + 1} - 4 + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Some $- 4$ e $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} + 0) - 1$

Etapa 5.2.3.2.2

Some $e^{x + 1}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

Etapa 5.2.3.3

Use as regras logarítmicas para mover $x + 1$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \ln (e) - 1$

Etapa 5.2.3.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

Etapa 5.2.3.5

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 1 - 1$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x + 1 - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\ln (2 x + 4) - 1)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$

Etapa 5.3.3

Combine os termos opostos em $\frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4) + 0} - 2$

Etapa 5.3.3.2

Some $\ln (2 x + 4)$ e $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4)} - 2$

Etapa 5.3.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 4) - 2$

Etapa 5.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Etapa 5.3.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.3.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Etapa 5.3.4.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Etapa 5.3.4.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Etapa 5.3.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) - 2$

Etapa 5.3.4.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 2$

Etapa 5.3.4.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 2 - 2$

Etapa 5.3.5

Combine os termos opostos em $x + 2 - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 0$

Etapa 5.3.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$