Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (\frac{x^{5} - 12}{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x^{5} - 12}{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{5} - 12}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$1 \frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Etapa 3

Multiplique $\frac{x}{x^{5} - 12}$ por $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{5} - 12$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{5} - 12] - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.3

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + 0) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5.4

Some $5 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 (x^{1} x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{1 + 4} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 8

Some $1$ e $4$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 10

Combine frações.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$

Etapa 10.2

Multiplique $\frac{x}{x^{5} - 12}$ por $\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{(x^{5} - 12) x^{2}}$

Etapa 11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.1

Fatore $x$ de $(x^{5} - 12) x^{2}$ .

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

Etapa 11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{(x^{5} - 12) x}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{(x^{5} - 12) x}$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{x^{5} x - 12 x}$

Etapa 12.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$\frac{5 x^{5} - x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

Etapa 12.3.2

Subtraia $x^{5}$ de $5 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

Etapa 12.4

Multiplique $x^{5}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 12.4.1

Multiplique $x^{5}$ por $x$ .

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Etapa 12.4.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x^{1} - 12 x}$

Etapa 12.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5 + 1} - 12 x}$

Etapa 12.4.2

Some $5$ e $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{6} - 12 x}$

Etapa 12.5

Fatore $4$ de $4 x^{5} + 12$ .

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Etapa 12.5.1

Fatore $4$ de $4 x^{5}$ .

$\frac{4 (x^{5}) + 12}{x^{6} - 12 x}$

Etapa 12.5.2

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot 3}{x^{6} - 12 x}$

Etapa 12.5.3

Fatore $4$ de $4 x^{5} + 4 \cdot 3$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x^{6} - 12 x}$

Etapa 12.6

Fatore $x$ de $x^{6} - 12 x$ .

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Etapa 12.6.1

Fatore $x$ de $x^{6}$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} - 12 x}$

Etapa 12.6.2

Fatore $x$ de $- 12 x$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} + x \cdot - 12}$

Etapa 12.6.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{5} + x \cdot - 12$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x (x^{5} - 12)}$