Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{7} {(4 - x)}^{8}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = {(4 - x)}^{8}$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{8}] + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - x$ .

$x^{7} (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$x^{7} (8 u^{7} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x$ .

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [- x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{7} (8 {(4 - x)}^{7} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x]) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7} \cdot 1) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3.7

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + {(4 - x)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + {(4 - x)}^{8} (7 x^{6})$

Etapa 3.9

Mova $7$ para a esquerda de ${(4 - x)}^{8}$ .

$x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + 7 \cdot {(4 - x)}^{8} x^{6}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Fatore $x^{6} {(4 - x)}^{7}$ de $x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7}) + 7 {(4 - x)}^{8} x^{6}$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $x^{6} {(4 - x)}^{7}$ de $x^{7} (- 8 {(4 - x)}^{7})$ .

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8)) + 7 {(4 - x)}^{8} x^{6}$

Etapa 4.1.2

Fatore $x^{6} {(4 - x)}^{7}$ de $7 {(4 - x)}^{8} x^{6}$ .

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8)) + x^{6} {(4 - x)}^{7} (7 (4 - x))$

Etapa 4.1.3

Fatore $x^{6} {(4 - x)}^{7}$ de $x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8)) + x^{6} {(4 - x)}^{7} (7 (4 - x))$ .

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (x \cdot (- 8) + 7 (4 - x))$

Etapa 4.2

Mova $- 8$ para a esquerda de $x$ .

$x^{6} {(4 - x)}^{7} (- 8 x + 7 (4 - x))$