Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}$

Etapa 1

Multiplique para racionalizar o numerador.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} - x^{2}) (\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2})}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Expanda o numerador usando o método FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}}}^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} x^{2} + \sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} (- x^{2}) - x^{4}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2} + 0}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Etapa 2.2.2

Some $- 5 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{4} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - 5 x^{2}$ .

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Etapa 3.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} - 5 x^{2}} + x^{2}}$

Etapa 3.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5} + x^{2}}$

Etapa 3.1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x^{2} - 5)} + x^{2}}$

Etapa 3.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

Etapa 3.2

Mova o termo $- 5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x \sqrt{x^{2} - 5} + x^{2}}$

Etapa 4

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{2}$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 5.1.2

Reescreva a expressão.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x^{2} - 5}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Etapa 5.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Etapa 5.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + 1}$

Etapa 5.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 6

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7

Avalie o limite.

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7.2.1.2

Reescreva a expressão.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7.7

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 8

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 9

Avalie o limite.

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Etapa 9.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 9.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

Etapa 9.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.3.1

Divida $\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ por $1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

Etapa 9.3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.3.2.1

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Etapa 9.3.2.2

Some $1$ e $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Etapa 9.3.2.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

Etapa 9.3.2.4

Some $1$ e $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Etapa 9.3.3

Combine $- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Etapa 9.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{2}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{5}{2}$

Forma decimal:

$- 2.5$