Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 + \tan (x)}{\csc (x) + 2}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Etapa 2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Etapa 3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Etapa 4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + 2}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

Etapa 6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a cossecante é contínua.

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} 2}$

Etapa 7

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 + \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

Etapa 8

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{4}$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + 2}$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{4})}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{1 + 1}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Etapa 9.1.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{\csc (\frac{π}{4}) + 2}$

Etapa 9.2

O valor exato de $\csc (\frac{π}{4})$ é $\sqrt{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$

Etapa 9.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ por $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} + 2} \cdot \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$

Etapa 9.4

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2} + 2}$ por $\frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{(\sqrt{2} + 2) (\sqrt{2} - 2)}$

Etapa 9.5

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + 2 \sqrt{2} - 4}$

Etapa 9.6

Simplifique.

$\frac{2 (\sqrt{2} - 2)}{- 2}$

Etapa 9.7

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sqrt{2} - 2}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$

Etapa 9.8

Reescreva $- 1 \cdot (\sqrt{2} - 2)$ como $- (\sqrt{2} - 2)$ .

$- (\sqrt{2} - 2)$

Etapa 9.9

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sqrt{2} - - 2$

Etapa 9.10

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- \sqrt{2} + 2$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \sqrt{2} + 2$

Forma decimal:

$0.58578643 \dots$