Cálculo Exemplos

$f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.1

Combine $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Combine frações.

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Etapa 3.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4.3

Combine $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}}) x}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 7.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 (1)} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.2.2.4

Divida $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1$

Etapa 9

Multiplique $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$