Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Etapa 1.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{2 x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

Etapa 2.1.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

Etapa 2.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{2 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{2 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{2}$

Etapa 3

Como a função $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $\frac{1}{2}$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 3.1

Considere o limite com o múltiplo constante $\frac{1}{2}$ removido.

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

Etapa 3.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\infty$