Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} - 48 x$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 48 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{2} - 48 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 48$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} - 48$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 48]$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 48]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48$ em relação a $x$ é $0$ .

$24 x + 0$

Etapa 1.1.2.3.2

Some $24 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 x$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $24 x$ .

$24 x$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $24 x = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$24 x = 0$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $24 x = 0$ por $24$ e simplifique.

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Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $24 x = 0$ por $24$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $24$ .

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{24 x}{24} = \frac{0}{24}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{24}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Divida $0$ por $24$ .

$x = 0$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = 24 (- 2)$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $24$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 48$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $- 48$ .

$- 48$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = 24 (2)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $24$ por $2$ .

$f'' (2) = 48$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $48$ .

$48$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para baixo em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7