Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 - x^{2}}$ como ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(2 - x^{2})}^{1}}$

Etapa 4

Simplifique.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{2 - x^{2}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{2 - x^{2}}$

Etapa 5.2

Multiplique ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{2 - x^{2}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 - x^{2}$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 - x^{2}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - x^{2}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

Etapa 7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

Etapa 8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

Etapa 11

Combine frações.

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Etapa 11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

Etapa 11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

Etapa 11.3

Mova ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}])}{2 - x^{2}}$

Etapa 11.4

Combine $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{2 - x^{2}}$

Etapa 12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{2 - x^{2}}$

Etapa 13

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{2 - x^{2}}$

Etapa 14

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{2 - x^{2}}$

Etapa 15

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{2 - x^{2}}$

Etapa 16

Multiplique.

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Etapa 16.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{2 - x^{2}}$

Etapa 16.2

Multiplique $\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{2 - x^{2}}$

Etapa 17

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{2 - x^{2}}$

Etapa 18

Combine frações.

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Etapa 18.1

Combine $2$ e $\frac{x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{2 - x^{2}}$

Etapa 18.2

Combine $\frac{2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x \cdot x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 19

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x^{1} x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 20

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 21

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 22

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 23

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 24

Reescreva a expressão.

$\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 25

Para escrever ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 27

Multiplique ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 27.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 27.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 27.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{{(2 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 27.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{{(2 - x^{2})}^{1} + x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 28

Simplifique ${(2 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 - x^{2} + x^{2}}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 29

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 + 0}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 30

Some $2$ e $0$ .

$\frac{\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$

Etapa 31

Reescreva $\frac{\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2 - x^{2}}$ como um produto.

$\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 - x^{2}}$

Etapa 32

Multiplique $\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2 - x^{2}}$ .

$\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 - x^{2})}$

Etapa 33

Multiplique ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $2 - x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 33.1

Multiplique ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $2 - x^{2}$ .

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Etapa 33.1.1

Eleve $2 - x^{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(2 - x^{2})}^{1}}$

Etapa 33.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 33.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 33.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 33.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2}{{(2 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 34

Reordene os termos.

$\frac{2}{{(- x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$