Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{\log (\sin (3 x))}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \log (\sin (3 x))$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\log (\sin (3 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\log (\sin (3 x))$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} \frac{d}{d x} [\log (\sin (3 x))]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = \sin (3 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (3 x)$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Etapa 2.2

A derivada de $\log (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (3 x)$ .

$e^{\log (\sin (3 x))} (\frac{1}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Etapa 3

Combine $\frac{1}{\sin (3 x) \ln (10)}$ e $e^{\log (\sin (3 x))}$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $3 x$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 4.2

A derivada de $\sin (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\cos (u_{3})$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $3 x$ .

$\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Combine $\cos (3 x)$ e $\frac{e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 5.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.3

Combine $3$ e $\frac{\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ .

$\frac{3 (\cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))})}{\sin (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)} \cdot 1$

Etapa 5.5

Multiplique $\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$ por $1$ .

$\frac{3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}}{\sin (3 x) \ln (10)}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reordene os fatores em $3 \cos (3 x) e^{\log (\sin (3 x))}$ .

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))} \cos (3 x)}{\sin (3 x) \ln (10)}$

Etapa 6.2

Separe as frações.

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Etapa 6.3

Converta de $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ em $\cot (3 x)$ .

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)} \cot (3 x)$

Etapa 6.4

Combine $\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))}}{\ln (10)}$ e $\cot (3 x)$ .

$\frac{3 e^{\log (\sin (3 x))} \cot (3 x)}{\ln (10)}$