Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{\log (e^{5 x})}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \log (e^{5 x})$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\log (e^{5 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\log (e^{5 x})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\log (e^{5 x})]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\log (e^{5 x})$ .

$e^{\log (e^{5 x})} \frac{d}{d x} [\log (e^{5 x})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = e^{5 x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $e^{5 x}$ .

$e^{\log (e^{5 x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\log (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$e^{\log (e^{5 x})} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{5 x}$ .

$e^{\log (e^{5 x})} (\frac{1}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}])$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{e^{5 x} \ln (10)}$ e $e^{\log (e^{5 x})}$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $e^{\log (e^{5 x})}$ e $e^{5 x}$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $e^{5 x}$ de $e^{\log (e^{5 x})}$ .

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Etapa 3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $e^{5 x}$ de $e^{5 x} \ln (10)$ .

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{e^{5 x} (\ln (10))} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{e^{5 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $5 x$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ é $a^{u_{3}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $5 x$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 5

Combine $e^{5 x}$ e $\frac{e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)}$ .

$\frac{e^{5 x} e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 6

Multiplique $e^{5 x}$ por $e^{\log (e^{5 x}) - 5 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{5 x + \log (e^{5 x}) - 5 x}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 6.2

Combine os termos opostos em $5 x + \log (e^{5 x}) - 5 x$ .

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Etapa 6.2.1

Subtraia $5 x$ de $5 x$ .

$\frac{e^{0 + \log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 6.2.2

Some $0$ e $\log (e^{5 x})$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Combine $5$ e $\frac{e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)}$ .

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)} \cdot 1$

Etapa 10

Multiplique $\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)}$ por $1$ .

$\frac{5 e^{\log (e^{5 x})}}{\ln (10)}$