Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{t - 5}{t^{2} + 10 t + 25}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t - 5$ e $g (t) = t^{2} + 10 t + 25$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \frac{d}{d t} [t - 5] - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - 5$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + \frac{d}{d t} [- 5]) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 5$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) (1 + 0) - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(t^{2} + 10 t + 25) \cdot 1 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $t^{2} + 10 t + 25$ por $1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 10 t + 25$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $10$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $10 t$ em relação a $t$ é $10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 2.9

Multiplique $10$ por $1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + \frac{d}{d t} [25])}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 2.10

Como $25$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $25$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10 + 0)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 2.11

Some $2 t + 10$ e $0$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - (t - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t - - 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 + (- t + 5) (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Expanda $(- t + 5) (2 t + 10)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t + 10) + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t + 10)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - t (2 t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t \cdot t - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.2

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.3.1.2.1

Mova $t$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 (t \cdot t) - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 1 \cdot 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - t \cdot 10 + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.4

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 5 (2 t) + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 5 \cdot 10}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.1.6

Multiplique $5$ por $10$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} - 10 t + 10 t + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.2

Some $- 10 t$ e $10 t$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 0 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3.3

Some $- 2 t^{2}$ e $0$ .

$\frac{t^{2} + 10 t + 25 - 2 t^{2} + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 10 t + 25 + 50}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

Some $25$ e $50$ .

$\frac{- t^{2} + 10 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 75 = - 75$ e cuja soma é $b = 10$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $10$ de $10 t$ .

$\frac{- t^{2} + 10 (t) + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva $10$ como $- 5$ mais $15$

$\frac{- t^{2} + (- 5 + 15) t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- t^{2} - 5 t + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- t^{2} - 5 t) + 15 t + 75}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{t (- t - 5) - 15 (- t - 5)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- t - 5$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 25)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.4.1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 10 t + 5^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$10 t = 2 \cdot t \cdot 5$

Etapa 3.4.1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t^{2} + 2 \cdot t \cdot 5 + 5^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = t$ e $b = 5$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{({(t + 5)}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique os expoentes em ${({(t + 5)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Etapa 3.4.3

Use o teorema binomial.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 t^{3} \cdot 5 + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Etapa 3.4.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.4.1

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 5^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Etapa 3.4.4.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 6 t^{2} \cdot 25 + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Etapa 3.4.4.3

Multiplique $25$ por $6$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 5^{3} + 5^{4}}$

Etapa 3.4.4.4

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 4 t \cdot 125 + 5^{4}}$

Etapa 3.4.4.5

Multiplique $125$ por $4$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 5^{4}}$

Etapa 3.4.4.6

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 20 t^{3} + 150 t^{2} + 500 t + 625}$

Etapa 3.4.5

Associe cada termo aos termos da fórmula do teorema binomial.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}}$

Etapa 3.4.6

Fatore $t^{4} + 4 \cdot 5 t^{3} + 6 \cdot 5^{2} t^{2} + 4 \cdot 5^{3} t + 5^{4}$ usando o teorema binomial.

$\frac{(- t - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $- t - 5$ e ${(t + 5)}^{4}$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $- 1$ de $- t$ .

$\frac{(- (t) - 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Etapa 3.5.2

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{(- (t) - 1 (5)) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Etapa 3.5.3

Fatore $- 1$ de $- (t) - 1 (5)$ .

$\frac{- (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Etapa 3.5.4

Reescreva $- (t + 5)$ como $- 1 (t + 5)$ .

$\frac{- 1 (t + 5) (t - 15)}{{(t + 5)}^{4}}$

Etapa 3.5.5

Fatore $t + 5$ de $- 1 (t + 5) (t - 15)$ .

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{{(t + 5)}^{4}}$

Etapa 3.5.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.6.1

Fatore $t + 5$ de ${(t + 5)}^{4}$ .

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Etapa 3.5.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(t + 5) (- 1 (t - 15))}{(t + 5) {(t + 5)}^{3}}$

Etapa 3.5.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (t - 15)}{{(t + 5)}^{3}}$

Etapa 3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{t - 15}{{(t + 5)}^{3}}$