Cálculo Exemplos

$S (t) = \frac{50 t^{2}}{t^{2} + 150}$

Etapa 1

Como $50$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{50 t^{2}}{t^{2} + 150}$ em relação a $t$ é $50 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{2} + 150}]$ .

$50 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{2} + 150}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t^{2} + 150$ .

$50 \frac{(t^{2} + 150) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 150]}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$50 \frac{(t^{2} + 150) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 150]}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $t^{2} + 150$ .

$50 \frac{2 \cdot (t^{2} + 150) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 150]}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 150$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [150]$ .

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [150])}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [150])}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $150$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $150$ em relação a $t$ é $0$ .

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $2 t$ e $0$ .

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (2 t)}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{2} t}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 4

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{1 + 2}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 6

Some $1$ e $2$ .

$50 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 7

Combine $50$ e $\frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$ .

$\frac{50 (2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{50 ((2 t^{2} + 2 \cdot 150) t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{50 (2 t^{2} t + 2 \cdot 150 t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{50 (2 t^{2} t) + 50 (2 \cdot 150 t) + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.4.1.1

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 8.4.1.1.1

Mova $t$ .

$\frac{50 (2 (t \cdot t^{2})) + 50 (2 \cdot 150 t) + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 8.4.1.1.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

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Etapa 8.4.1.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{50 (2 (t^{1} t^{2})) + 50 (2 \cdot 150 t) + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 8.4.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{50 (2 t^{1 + 2}) + 50 (2 \cdot 150 t) + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 8.4.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{50 (2 t^{3}) + 50 (2 \cdot 150 t) + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 8.4.1.2

Multiplique $2$ por $50$ .

$\frac{100 t^{3} + 50 (2 \cdot 150 t) + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 8.4.1.3

Multiplique $2$ por $150$ .

$\frac{100 t^{3} + 50 (300 t) + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 8.4.1.4

Multiplique $300$ por $50$ .

$\frac{100 t^{3} + 15000 t + 50 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 8.4.1.5

Multiplique $- 2$ por $50$ .

$\frac{100 t^{3} + 15000 t - 100 t^{3}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 8.4.2

Combine os termos opostos em $100 t^{3} + 15000 t - 100 t^{3}$ .

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Etapa 8.4.2.1

Subtraia $100 t^{3}$ de $100 t^{3}$ .

$\frac{15000 t + 0}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Etapa 8.4.2.2

Some $15000 t$ e $0$ .

$\frac{15000 t}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$