Cálculo Exemplos

$h (y) = {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ é $f' (g (b)) g' (b)$ , em que $f (b) = b^{3}$ e $g (b) = \frac{b}{a + y^{4}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{b}{a + y^{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d b} [\frac{b}{a + y^{4}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d b} [\frac{b}{a + y^{4}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{b}{a + y^{4}}$ .

$3 {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} \frac{d}{d b} [\frac{b}{a + y^{4}}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Como $\frac{1}{a + y^{4}}$ é constante em relação a $b$ , a derivada de $\frac{b}{a + y^{4}}$ em relação a $b$ é $\frac{1}{a + y^{4}} \frac{d}{d b} [b]$ .

$3 {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} (\frac{1}{a + y^{4}} \frac{d}{d b} [b])$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{a + y^{4}}$ e $3$ .

$\frac{3}{a + y^{4}} {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} \frac{d}{d b} [b]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ é $n b^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3}{a + y^{4}} {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2} \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $\frac{3}{a + y^{4}}$ por $1$ .

$\frac{3}{a + y^{4}} {(\frac{b}{a + y^{4}})}^{2}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{b}{a + y^{4}}$ .

$\frac{3}{a + y^{4}} \cdot \frac{b^{2}}{{(a + y^{4})}^{2}}$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $\frac{3}{a + y^{4}}$ por $\frac{b^{2}}{{(a + y^{4})}^{2}}$ .

$\frac{3 b^{2}}{(a + y^{4}) {(a + y^{4})}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $a + y^{4}$ por ${(a + y^{4})}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $a + y^{4}$ por ${(a + y^{4})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Eleve $a + y^{4}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 b^{2}}{{(a + y^{4})}^{1} {(a + y^{4})}^{2}}$

Etapa 3.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 b^{2}}{{(a + y^{4})}^{1 + 2}}$

Etapa 3.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3 b^{2}}{{(a + y^{4})}^{3}}$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$\frac{3 b^{2}}{{(y^{4} + a)}^{3}}$