Cálculo Exemplos

$P (t) = (t^{2} + 100) \ln (t + 2)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{2} + 100$ e $g (t) = \ln (t + 2)$ .

$(t^{2} + 100) \frac{d}{d t} [\ln (t + 2)] + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t + 2$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t + 2$ .

$(t^{2} + 100) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$(t^{2} + 100) (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t + 2$ .

$(t^{2} + 100) (\frac{1}{t + 2} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} (1 + \frac{d}{d t} [2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2$ em relação a $t$ é $0$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} (1 + 0) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} \cdot 1 + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Etapa 3.4.2

Multiplique $t^{2} + 100$ por $1$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} + 100$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [100]$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [100])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (2 t + \frac{d}{d t} [100])$

Etapa 3.7

Como $100$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $100$ em relação a $t$ é $0$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (2 t + 0)$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.8.1

Some $2 t$ e $0$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (2 t)$

Etapa 3.8.2

Reordene os termos.

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + 2 t \ln (t + 2)$