Cálculo Exemplos

$g (x) = \ln (e^{x} + \ln (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{x} + \ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$ .

$(e^{x} + \frac{1}{x}) \frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$

Etapa 5.2

Multiplique $e^{x} + \frac{1}{x}$ por $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

Etapa 5.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique $\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

Etapa 5.3.2

Combine.

$\frac{x (e^{x} + \frac{1}{x})}{x (e^{x} + \ln (x))}$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Etapa 5.5

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Etapa 5.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x e^{x} + 1}{x e^{x} + x \ln (x)}$

Etapa 5.6

Fatore $x$ de $x e^{x} + x \ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Fatore $x$ de $x e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x \ln (x)}$

Etapa 5.6.2

Fatore $x$ de $x \ln (x)$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x (\ln (x))}$

Etapa 5.6.3

Fatore $x$ de $x (e^{x}) + x (\ln (x))$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x} + \ln (x))}$