Cálculo Exemplos

$H (x) = {(x + x^{- 1})}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + x^{- 1}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + x^{- 1}$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} \frac{d}{d x} [x + x^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$3 {(x + x^{- 1})}^{2} (1 - x^{- 2})$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - x^{- 2})$

Etapa 3.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 {(x + \frac{1}{x})}^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.3

Reescreva ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ como $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ .

$3 ((x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4

Expanda $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.5.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 (x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.5.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.5.1.3.1

Cancele o fator comum.

$3 (x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.5.1.3.2

Reescreva a expressão.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.5.1.4

Multiplique $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Etapa 3.5.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.5.1.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.5.1.4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.5.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.5.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$3 (x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.5.2

Some $1$ e $1$ .

$3 (x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 2 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$(3 x^{2} + 6 + 3 \frac{1}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.7.2

Combine $3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.8

Expanda $(3 x^{2} + 6 + \frac{3}{x^{2}}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$3 x^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.9.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.9.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.9.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$3 x^{2} + 3 x^{2} \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.9.2.2

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.9.2.3

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} + x^{2} \cdot 3 \frac{- 1}{x^{2}} + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.9.2.4

Reescreva a expressão.

$3 x^{2} + 3 \cdot - 1 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.9.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 \cdot 1 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.9.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 + 6 (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.9.5

Multiplique $6 (- \frac{1}{x^{2}})$ .

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Etapa 3.9.5.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - 6 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.9.5.2

Combine $- 6$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.9.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.9.7

Multiplique $\frac{3}{x^{2}}$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.9.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3.9.9

Multiplique $- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

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Etapa 3.9.9.1

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $\frac{3}{x^{2}}$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2} x^{2}}$

Etapa 3.9.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.9.9.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2 + 2}}$

Etapa 3.9.9.2.2

Some $2$ e $2$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

Etapa 3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 6 + 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Etapa 3.11

Some $- 6$ e $3$ .

$3 x^{2} - 3 + 6 + \frac{- 3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Etapa 3.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.12.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Etapa 3.12.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 x^{2} - 3 + 6 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$

Etapa 3.13

Some $- 3$ e $6$ .

$3 x^{2} + 3 - \frac{3}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$