Cálculo Exemplos

$h (x) = 5 x^{2} {(4 x + 7)}^{4}$

Etapa 1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2} {(4 x + 7)}^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(4 x + 7)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(4 x + 7)}^{4}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(4 x + 7)}^{4}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{4}] + {(4 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 4 x + 7$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x + 7$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [4 x + 7]) + {(4 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 7]) + {(4 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x + 7$ .

$5 (x^{2} (4 {(4 x + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 7]) + {(4 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$5 (x^{2} (4 {(4 x + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(4 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (4 {(4 x + 7)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(4 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (x^{2} (4 {(4 x + 7)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])) + {(4 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$5 (x^{2} (4 {(4 x + 7)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [7])) + {(4 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.5

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(4 x + 7)}^{3} (4 + 0)) + {(4 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.6.1

Some $4$ e $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(4 x + 7)}^{3} \cdot 4) + {(4 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.6.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$5 (x^{2} (16 {(4 x + 7)}^{3}) + {(4 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (x^{2} (16 {(4 x + 7)}^{3}) + {(4 x + 7)}^{4} (2 x))$

Etapa 4.8

Mova $2$ para a esquerda de ${(4 x + 7)}^{4}$ .

$5 (x^{2} (16 {(4 x + 7)}^{3}) + 2 \cdot {(4 x + 7)}^{4} x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 (x^{2} (16 {(4 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(4 x + 7)}^{4} x)$

Etapa 5.2

Multiplique $16$ por $5$ .

$80 (x^{2} ({(4 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(4 x + 7)}^{4} x)$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$80 x^{2} {(4 x + 7)}^{3} + 10 ({(4 x + 7)}^{4} x)$

Etapa 5.4

Fatore $10 x {(4 x + 7)}^{3}$ de $80 x^{2} {(4 x + 7)}^{3} + 10 {(4 x + 7)}^{4} x$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $10 x {(4 x + 7)}^{3}$ de $80 x^{2} {(4 x + 7)}^{3}$ .

$10 x {(4 x + 7)}^{3} (8 x) + 10 {(4 x + 7)}^{4} x$

Etapa 5.4.2

Fatore $10 x {(4 x + 7)}^{3}$ de $10 {(4 x + 7)}^{4} x$ .

$10 x {(4 x + 7)}^{3} (8 x) + 10 x {(4 x + 7)}^{3} (4 x + 7)$

Etapa 5.4.3

Fatore $10 x {(4 x + 7)}^{3}$ de $10 x {(4 x + 7)}^{3} (8 x) + 10 x {(4 x + 7)}^{3} (4 x + 7)$ .

$10 x {(4 x + 7)}^{3} (8 x + 4 x + 7)$

Etapa 5.5

Some $8 x$ e $4 x$ .

$10 x {(4 x + 7)}^{3} (12 x + 7)$