Cálculo Exemplos

$g (t) = {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{9}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{9}$ e $g (t) = \frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [\frac{t - 2}{2 t + 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$9 u^{8} \frac{d}{d t} [\frac{t - 2}{2 t + 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{d}{d t} [\frac{t - 2}{2 t + 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t - 2$ e $g (t) = 2 t + 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) \frac{d}{d t} [t - 2] - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - 2$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 2]) - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2$ em relação a $t$ é $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) (1 + 0) - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{(2 t + 1) \cdot 1 - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2 t + 1$ por $1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.9

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) (2 + 0)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.10

Combine frações.

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Etapa 3.10.1

Some $2$ e $0$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - (t - 2) \cdot 2}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$9 {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8} \frac{2 t + 1 - 2 (t - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.10.3

Combine $\frac{2 t + 1 - 2 (t - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}}$ e $9$ .

$\frac{(2 t + 1 - 2 (t - 2)) \cdot 9}{{(2 t + 1)}^{2}} {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8}$

Etapa 3.10.4

Mova $9$ para a esquerda de $2 t + 1 - 2 (t - 2)$ .

$\frac{9 \cdot (2 t + 1 - 2 (t - 2))}{{(2 t + 1)}^{2}} {(\frac{t - 2}{2 t + 1})}^{8}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{t - 2}{2 t + 1}$ .

$\frac{9 (2 t + 1 - 2 (t - 2))}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 (2 t + 1 - 2 t - 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 (2 t) + 9 \cdot 1 + 9 (- 2 t) + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Etapa 4.4

Combine os termos.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{18 t + 9 \cdot 1 + 9 (- 2 t) + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $9$ por $1$ .

$\frac{18 t + 9 + 9 (- 2 t) + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Etapa 4.4.3

Multiplique $- 2$ por $9$ .

$\frac{18 t + 9 - 18 t + 9 (- 2 \cdot - 2)}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Etapa 4.4.4

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{18 t + 9 - 18 t + 9 \cdot 4}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Etapa 4.4.5

Multiplique $9$ por $4$ .

$\frac{18 t + 9 - 18 t + 36}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Etapa 4.4.6

Subtraia $18 t$ de $18 t$ .

$\frac{0 + 9 + 36}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Etapa 4.4.7

Some $0$ e $9$ .

$\frac{9 + 36}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Etapa 4.4.8

Some $9$ e $36$ .

$\frac{45}{{(2 t + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$

Etapa 4.4.9

Multiplique $\frac{45}{{(2 t + 1)}^{2}}$ por $\frac{{(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{8}}$ .

$\frac{45 {(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{2} {(2 t + 1)}^{8}}$

Etapa 4.4.10

Multiplique ${(2 t + 1)}^{2}$ por ${(2 t + 1)}^{8}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.10.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{45 {(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{2 + 8}}$

Etapa 4.4.10.2

Some $2$ e $8$ .

$\frac{45 {(t - 2)}^{8}}{{(2 t + 1)}^{10}}$