Cálculo Exemplos

$g (t) = t^{2} \ln (e^{2 t} + 8)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \ln (e^{2 t} + 8)$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (e^{2 t} + 8)] + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = e^{2 t} + 8$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $e^{2 t} + 8$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$t^{2} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $e^{2 t} + 8$ .

$t^{2} (\frac{1}{e^{2 t} + 8} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da soma.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{e^{2 t} + 8}$ e $t^{2}$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} \frac{d}{d t} [e^{2 t} + 8] + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{2 t} + 8$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (\frac{d}{d t} [e^{2 t}] + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 2 t$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 t$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 t$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (e^{2 t} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (e^{2 t} \cdot 2 + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 5.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 t}$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (2 \cdot e^{2 t} + \frac{d}{d t} [8]) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 5.4

Como $8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $8$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (2 e^{2 t} + 0) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 5.5

Combine frações.

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Etapa 5.5.1

Some $2 e^{2 t}$ e $0$ .

$\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8} (2 e^{2 t}) + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 5.5.2

Combine $2$ e $\frac{t^{2}}{e^{2 t} + 8}$ .

$\frac{2 t^{2}}{e^{2 t} + 8} e^{2 t} + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 5.5.3

Combine $\frac{2 t^{2}}{e^{2 t} + 8}$ e $e^{2 t}$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 8} + \ln (e^{2 t} + 8) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 8} + \ln (e^{2 t} + 8) (2 t)$

Etapa 6

Para escrever $\ln (e^{2 t} + 8) (2 t)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{2 t} + 8}{e^{2 t} + 8}$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t}}{e^{2 t} + 8} + \frac{\ln (e^{2 t} + 8) (2 t) (e^{2 t} + 8)}{e^{2 t} + 8}$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln (e^{2 t} + 8) (2 t) (e^{2 t} + 8)}{e^{2 t} + 8}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + 2 \ln (e^{2 t} + 8) t (e^{2 t} + 8)}{e^{2 t} + 8}$

Etapa 8.1.1.2

Simplifique $2 \ln (e^{2 t} + 8)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t (e^{2 t} + 8)}{e^{2 t} + 8}$

Etapa 8.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t \cdot 8}{e^{2 t} + 8}$

Etapa 8.1.1.4

Multiplique $\ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t \cdot 8$ .

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Etapa 8.1.1.4.1

Reordene $\ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2})$ e $8$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \cdot (8 \cdot \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}))}{e^{2 t} + 8}$

Etapa 8.1.1.4.2

Simplifique $8 \cdot \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2})$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \cdot \ln ({({(e^{2 t} + 8)}^{2})}^{8})}{e^{2 t} + 8}$

Etapa 8.1.1.5

Multiplique os expoentes em ${({(e^{2 t} + 8)}^{2})}^{8}$ .

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Etapa 8.1.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \cdot \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2 \cdot 8})}{e^{2 t} + 8}$

Etapa 8.1.1.5.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \cdot \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{16})}{e^{2 t} + 8}$

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{16})}{e^{2 t} + 8}$

Etapa 8.1.2

Reordene os fatores em $2 t^{2} e^{2 t} + \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) t e^{2 t} + t \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{16})$ .

$\frac{2 t^{2} e^{2 t} + t e^{2 t} \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) + t \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{16})}{e^{2 t} + 8}$

Etapa 8.2

Reordene os termos.

$\frac{2 e^{2 t} t^{2} + e^{2 t} t \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{2}) + t \ln ({(e^{2 t} + 8)}^{16})}{e^{2 t} + 8}$