Cálculo Exemplos

$g (x) = (3 x^{5} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - 6 x^{- 1})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 3 x^{5} - 7 e^{x}$ e $g (x) = 9 x^{4} - 6 x^{- 1}$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) \frac{d}{d x} [9 x^{4} - 6 x^{- 1}] + (9 x^{4} - 6 x^{- 1}) \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 e^{x}]$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{4} - 6 x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 1}]$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 1}]) + (9 x^{4} - 6 x^{- 1}) \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 e^{x}]$

Etapa 2.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{4}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 1}]) + (9 x^{4} - 6 x^{- 1}) \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 e^{x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 1}]) + (9 x^{4} - 6 x^{- 1}) \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 e^{x}]$

Etapa 2.4

Multiplique $4$ por $9$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (36 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 1}]) + (9 x^{4} - 6 x^{- 1}) \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 e^{x}]$

Etapa 2.5

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{- 1}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (36 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (9 x^{4} - 6 x^{- 1}) \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 e^{x}]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (36 x^{3} - 6 (- x^{- 2})) + (9 x^{4} - 6 x^{- 1}) \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 e^{x}]$

Etapa 2.7

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (36 x^{3} + 6 x^{- 2}) + (9 x^{4} - 6 x^{- 1}) \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 e^{x}]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} - 7 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}]$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (36 x^{3} + 6 x^{- 2}) + (9 x^{4} - 6 x^{- 1}) (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}])$

Etapa 2.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (36 x^{3} + 6 x^{- 2}) + (9 x^{4} - 6 x^{- 1}) (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}])$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (36 x^{3} + 6 x^{- 2}) + (9 x^{4} - 6 x^{- 1}) (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}])$

Etapa 2.11

Multiplique $5$ por $3$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (36 x^{3} + 6 x^{- 2}) + (9 x^{4} - 6 x^{- 1}) (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 e^{x}])$

Etapa 2.12

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 e^{x}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (36 x^{3} + 6 x^{- 2}) + (9 x^{4} - 6 x^{- 1}) (15 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (36 x^{3} + 6 x^{- 2}) + (9 x^{4} - 6 x^{- 1}) (15 x^{4} - 7 e^{x})$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (36 x^{3} + 6 \frac{1}{x^{2}}) + (9 x^{4} - 6 x^{- 1}) (15 x^{4} - 7 e^{x})$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (36 x^{3} + 6 \frac{1}{x^{2}}) + (9 x^{4} - 6 \frac{1}{x}) (15 x^{4} - 7 e^{x})$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Combine $6$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (36 x^{3} + \frac{6}{x^{2}}) + (9 x^{4} - 6 \frac{1}{x}) (15 x^{4} - 7 e^{x})$

Etapa 4.3.2

Combine $- 6$ e $\frac{1}{x}$ .

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (36 x^{3} + \frac{6}{x^{2}}) + (9 x^{4} + \frac{- 6}{x}) (15 x^{4} - 7 e^{x})$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(3 x^{5} - 7 e^{x}) (36 x^{3} + \frac{6}{x^{2}}) + (9 x^{4} - \frac{6}{x}) (15 x^{4} - 7 e^{x})$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$(36 x^{3} + \frac{6}{x^{2}}) (3 x^{5} - 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.1

Expanda $(36 x^{3} + \frac{6}{x^{2}}) (3 x^{5} - 7 e^{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$36 x^{3} (3 x^{5} - 7 e^{x}) + \frac{6}{x^{2}} (3 x^{5} - 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$36 x^{3} (3 x^{5}) + 36 x^{3} (- 7 e^{x}) + \frac{6}{x^{2}} (3 x^{5} - 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$36 x^{3} (3 x^{5}) + 36 x^{3} (- 7 e^{x}) + \frac{6}{x^{2}} (3 x^{5}) + \frac{6}{x^{2}} (- 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$36 \cdot 3 x^{3} x^{5} + 36 x^{3} (- 7 e^{x}) + \frac{6}{x^{2}} (3 x^{5}) + \frac{6}{x^{2}} (- 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.2

Multiplique $x^{3}$ por $x^{5}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.2.2.1

Mova $x^{5}$ .

$36 \cdot 3 (x^{5} x^{3}) + 36 x^{3} (- 7 e^{x}) + \frac{6}{x^{2}} (3 x^{5}) + \frac{6}{x^{2}} (- 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$36 \cdot 3 x^{5 + 3} + 36 x^{3} (- 7 e^{x}) + \frac{6}{x^{2}} (3 x^{5}) + \frac{6}{x^{2}} (- 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.2.3

Some $5$ e $3$ .

$36 \cdot 3 x^{8} + 36 x^{3} (- 7 e^{x}) + \frac{6}{x^{2}} (3 x^{5}) + \frac{6}{x^{2}} (- 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.3

Multiplique $36$ por $3$ .

$108 x^{8} + 36 x^{3} (- 7 e^{x}) + \frac{6}{x^{2}} (3 x^{5}) + \frac{6}{x^{2}} (- 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$108 x^{8} + 36 \cdot - 7 x^{3} e^{x} + \frac{6}{x^{2}} (3 x^{5}) + \frac{6}{x^{2}} (- 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.5

Multiplique $36$ por $- 7$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + \frac{6}{x^{2}} (3 x^{5}) + \frac{6}{x^{2}} (- 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 3 \frac{6}{x^{2}} x^{5} + \frac{6}{x^{2}} (- 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.7

Multiplique $3 \frac{6}{x^{2}}$ .

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Etapa 4.5.2.7.1

Combine $3$ e $\frac{6}{x^{2}}$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + \frac{3 \cdot 6}{x^{2}} x^{5} + \frac{6}{x^{2}} (- 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.7.2

Multiplique $3$ por $6$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + \frac{18}{x^{2}} x^{5} + \frac{6}{x^{2}} (- 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.8

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 4.5.2.8.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{5}$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + \frac{18}{x^{2}} (x^{2} x^{3}) + \frac{6}{x^{2}} (- 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.8.2

Cancele o fator comum.

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + \frac{18}{x^{2}} (x^{2} x^{3}) + \frac{6}{x^{2}} (- 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.8.3

Reescreva a expressão.

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} + \frac{6}{x^{2}} (- 7 e^{x}) + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - 7 \frac{6}{x^{2}} e^{x} + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.10

Multiplique $- 7 \frac{6}{x^{2}}$ .

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Etapa 4.5.2.10.1

Combine $- 7$ e $\frac{6}{x^{2}}$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} + \frac{- 7 \cdot 6}{x^{2}} e^{x} + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.10.2

Multiplique $- 7$ por $6$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} + \frac{- 42}{x^{2}} e^{x} + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42}{x^{2}} e^{x} + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.12

Combine $e^{x}$ e $\frac{42}{x^{2}}$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{e^{x} \cdot 42}{x^{2}} + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.2.13

Mova $42$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + (15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.3

Expanda $(15 x^{4} - 7 e^{x}) (9 x^{4} - \frac{6}{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 15 x^{4} (9 x^{4} - \frac{6}{x}) - 7 e^{x} (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 15 x^{4} (9 x^{4}) + 15 x^{4} (- \frac{6}{x}) - 7 e^{x} (9 x^{4} - \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 15 x^{4} (9 x^{4}) + 15 x^{4} (- \frac{6}{x}) - 7 e^{x} (9 x^{4}) - 7 e^{x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 15 \cdot 9 x^{4} x^{4} + 15 x^{4} (- \frac{6}{x}) - 7 e^{x} (9 x^{4}) - 7 e^{x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.4.2

Multiplique $x^{4}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.4.2.1

Mova $x^{4}$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 15 \cdot 9 (x^{4} x^{4}) + 15 x^{4} (- \frac{6}{x}) - 7 e^{x} (9 x^{4}) - 7 e^{x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 15 \cdot 9 x^{4 + 4} + 15 x^{4} (- \frac{6}{x}) - 7 e^{x} (9 x^{4}) - 7 e^{x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.4.2.3

Some $4$ e $4$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 15 \cdot 9 x^{8} + 15 x^{4} (- \frac{6}{x}) - 7 e^{x} (9 x^{4}) - 7 e^{x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.4.3

Multiplique $15$ por $9$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 135 x^{8} + 15 x^{4} (- \frac{6}{x}) - 7 e^{x} (9 x^{4}) - 7 e^{x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.4.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.5.4.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{6}{x}$ para o numerador.

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 135 x^{8} + 15 x^{4} \frac{- 6}{x} - 7 e^{x} (9 x^{4}) - 7 e^{x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.4.4.2

Fatore $x$ de $15 x^{4}$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 135 x^{8} + x (15 x^{3}) \frac{- 6}{x} - 7 e^{x} (9 x^{4}) - 7 e^{x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.4.4.3

Cancele o fator comum.

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 135 x^{8} + x (15 x^{3}) \frac{- 6}{x} - 7 e^{x} (9 x^{4}) - 7 e^{x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.4.4.4

Reescreva a expressão.

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 135 x^{8} + 15 x^{3} \cdot - 6 - 7 e^{x} (9 x^{4}) - 7 e^{x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.4.5

Multiplique $- 6$ por $15$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 135 x^{8} - 90 x^{3} - 7 e^{x} (9 x^{4}) - 7 e^{x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.4.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 135 x^{8} - 90 x^{3} - 7 \cdot 9 e^{x} x^{4} - 7 e^{x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.4.7

Multiplique $- 7$ por $9$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 135 x^{8} - 90 x^{3} - 63 e^{x} x^{4} - 7 e^{x} (- \frac{6}{x})$

Etapa 4.5.4.8

Multiplique $- 7 e^{x} (- \frac{6}{x})$ .

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Etapa 4.5.4.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 135 x^{8} - 90 x^{3} - 63 e^{x} x^{4} + 7 e^{x} \frac{6}{x}$

Etapa 4.5.4.8.2

Combine $\frac{6}{x}$ e $7$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 135 x^{8} - 90 x^{3} - 63 e^{x} x^{4} + \frac{6 \cdot 7}{x} e^{x}$

Etapa 4.5.4.8.3

Multiplique $6$ por $7$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 135 x^{8} - 90 x^{3} - 63 e^{x} x^{4} + \frac{42}{x} e^{x}$

Etapa 4.5.4.8.4

Combine $\frac{42}{x}$ e $e^{x}$ .

$108 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} + 135 x^{8} - 90 x^{3} - 63 e^{x} x^{4} + \frac{42 e^{x}}{x}$

Etapa 4.6

Some $108 x^{8}$ e $135 x^{8}$ .

$243 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} + 18 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} - 90 x^{3} - 63 e^{x} x^{4} + \frac{42 e^{x}}{x}$

Etapa 4.7

Subtraia $90 x^{3}$ de $18 x^{3}$ .

$243 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} - 72 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} - 63 e^{x} x^{4} + \frac{42 e^{x}}{x}$

Etapa 4.8

Reordene os fatores em $243 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} - 72 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} - 63 e^{x} x^{4} + \frac{42 e^{x}}{x}$ .

$243 x^{8} - 252 x^{3} e^{x} - 72 x^{3} - \frac{42 e^{x}}{x^{2}} - 63 x^{4} e^{x} + \frac{42 e^{x}}{x}$