Cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{5}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{5} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.5

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{5} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3

Multiplique $x^{5}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x$ .

$\frac{x \cdot x^{5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.2

Multiplique $x$ por $x^{5}$ .

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Etapa 3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 3.3

Some $1$ e $5$ .

$\frac{x^{6} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 4

Mova $2$ para a esquerda de $x^{6}$ .

$\frac{2 \cdot x^{6} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{2 x^{6} - (x^{2} + 1) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Etapa 6

Simplifique com fatoração.

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Etapa 6.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{6} - 5 (x^{2} + 1) x^{4}}{x^{10}}$

Etapa 6.2

Fatore $x^{4}$ de $2 x^{6} - 5 (x^{2} + 1) x^{4}$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $x^{4}$ de $2 x^{6}$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2}) - 5 (x^{2} + 1) x^{4}}{x^{10}}$

Etapa 6.2.2

Fatore $x^{4}$ de $- 5 (x^{2} + 1) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))}{x^{10}}$

Etapa 6.2.3

Fatore $x^{4}$ de $x^{4} (2 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{10}}$

Etapa 7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{4} x^{6}}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{4} x^{6}}$

Etapa 7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1)}{x^{6}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 5 \cdot 1}{x^{6}}$

Etapa 8.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 5}{x^{6}}$

Etapa 8.2.2

Subtraia $5 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 5}{x^{6}}$

Etapa 8.3

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (3 x^{2}) - 5}{x^{6}}$

Etapa 8.4

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{- (3 x^{2}) - 1 (5)}{x^{6}}$

Etapa 8.5

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (5)$ .

$\frac{- (3 x^{2} + 5)}{x^{6}}$

Etapa 8.6

Reescreva $- (3 x^{2} + 5)$ como $- 1 (3 x^{2} + 5)$ .

$\frac{- 1 (3 x^{2} + 5)}{x^{6}}$

Etapa 8.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 x^{2} + 5}{x^{6}}$