Cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ e $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\frac{(x - 5) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Mova $2$ para a esquerda de $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.8

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.9.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 3.9.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{(2 x - 10) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2

Expanda $(2 x - 10) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (x - 1) - 10 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 10 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3.1.3

Multiplique $- 10$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 10 x + 10 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3.2

Subtraia $10 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.4

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - ((x - 1) (x - 1))}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.5

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.6.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.6.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.6.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.6.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.6.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - x - x + 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.6.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.8

Simplifique.

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Etapa 4.2.1.8.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 10 + 2 x - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.3

Some $- 12 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 10 - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.4

Subtraia $1$ de $10$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 4.3

Fatore $x^{2} - 10 x + 9$ usando o método AC.

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Etapa 4.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $9$ e cuja soma é $- 10$ .

$- 9, - 1$

Etapa 4.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$