Cálculo Exemplos

$g (x) = e^{x} \ln (3 x + 11)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln (3 x + 11)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 11)] + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x + 11$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x + 11$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 11$ .

$e^{x} (\frac{1}{3 x + 11} \frac{d}{d x} [3 x + 11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{3 x + 11}$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} \frac{d}{d x} [3 x + 11] + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 11$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 + \frac{d}{d x} [11]) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.6

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} (3 + 0) + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.7

Combine frações.

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Etapa 3.7.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{e^{x}}{3 x + 11} \cdot 3 + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.7.2

Combine $\frac{e^{x}}{3 x + 11}$ e $3$ .

$\frac{e^{x} \cdot 3}{3 x + 11} + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3.7.3

Mova $3$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$\frac{3 \cdot e^{x}}{3 x + 11} + \ln (3 x + 11) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{3 e^{x}}{3 x + 11} + \ln (3 x + 11) e^{x}$

Etapa 5

Para escrever $\ln (3 x + 11) e^{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 x + 11}{3 x + 11}$ .

$\frac{3 e^{x}}{3 x + 11} + \frac{\ln (3 x + 11) e^{x} (3 x + 11)}{3 x + 11}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 e^{x} + \ln (3 x + 11) e^{x} (3 x + 11)}{3 x + 11}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 e^{x} + \ln (3 x + 11) e^{x} (3 x) + \ln (3 x + 11) e^{x} \cdot 11}{3 x + 11}$

Etapa 7.1.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 e^{x} + 3 \ln (3 x + 11) e^{x} x + \ln (3 x + 11) e^{x} \cdot 11}{3 x + 11}$

Etapa 7.1.1.3

Simplifique $11 \ln (3 x + 11)$ movendo $11$ para dentro do logaritmo.

$\frac{3 e^{x} + 3 \ln (3 x + 11) e^{x} x + \ln ({(3 x + 11)}^{11}) e^{x}}{3 x + 11}$

Etapa 7.1.1.4

Simplifique $3 \ln (3 x + 11)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{3 e^{x} + \ln ({(3 x + 11)}^{3}) e^{x} x + \ln ({(3 x + 11)}^{11}) e^{x}}{3 x + 11}$

Etapa 7.1.2

Reordene os fatores em $3 e^{x} + \ln ({(3 x + 11)}^{3}) e^{x} x + \ln ({(3 x + 11)}^{11}) e^{x}$ .

$\frac{3 e^{x} + x e^{x} \ln ({(3 x + 11)}^{3}) + e^{x} \ln ({(3 x + 11)}^{11})}{3 x + 11}$

Etapa 7.2

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} x \ln ({(3 x + 11)}^{3}) + e^{x} \ln ({(3 x + 11)}^{11}) + 3 e^{x}}{3 x + 11}$