Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 3} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{t}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ em $t$ e em $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} t^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Combine $t^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Etapa 4.2.2

Mova $t^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Etapa 4.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 4.2.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Avalie o limite.

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Etapa 5.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Etapa 5.1.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Etapa 5.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{t^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

Etapa 5.3

Avalie o limite.

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Etapa 5.3.1

Avalie o limite de $\frac{1}{2}$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.3.2.1

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2}$

Etapa 5.3.2.2

Some $0$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$