Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (x) \ln (6 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \ln (6 x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (6 x)] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\sin (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x$ .

$\sin (x) (\frac{1}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{6 x}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin (x)}{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1

Combine $6$ e $\frac{\sin (x)}{6 x}$ .

$\frac{6 \sin (x)}{6 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \sin (x)}{6 x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (x)}{x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\sin (x)}{x} \cdot 1 + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{\sin (x)}{x}$ por $1$ .

$\frac{\sin (x)}{x} + \ln (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{x} + \ln (6 x) \cos (x)$

Etapa 5

Reordene os termos.

$\cos (x) \ln (6 x) + \frac{\sin (x)}{x}$