Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x^{2}$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 (2 x)$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $2$ por $18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Etapa 1.2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \cdot 1$

Etapa 1.2.4.3

Multiplique $36$ por $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$

Etapa 2.2

Fatore $12$ de $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $12$ de $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 96 x + 36 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $12$ de $- 96 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 36 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $12$ de $36$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 (3) = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore $12$ de $12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3) = 0$

Etapa 2.2.5

Fatore $12$ de $12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ por $12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ por $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $3 x^{2} - 8 x + 3$ por $1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{0}{12}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $12$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Etapa 2.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 8$ e $c = 3$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.3

Subtraia $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 2.6.3

Simplifique $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.3

Subtraia $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 2.7.3

Simplifique $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.3

Subtraia $36$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.8.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 2.8.3

Simplifique $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Etapa 2.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2.21525043$ em $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $2.21525043$ na expressão.

$f (2.21525043) = 3 {(2.21525043)}^{4} - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Eleve $2.21525043$ à potência de $4$ .

$f (2.21525043) = 3 \cdot 24.08193188 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $3$ por $24.08193188$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.3

Eleve $2.21525043$ à potência de $3$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 \cdot 10.87097489 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $- 16$ por $10.87097489$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.5

Eleve $2.21525043$ à potência de $2$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 \cdot 4.90733449$

Etapa 3.1.2.1.6

Multiplique $18$ por $4.90733449$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 88.33202097$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Subtraia $173.93559828$ de $72.24579564$ .

$f (2.21525043) = - 101.68980263 + 88.33202097$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $- 101.68980263$ e $88.33202097$ .

$f (2.21525043) = - 13.35778166$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $- 13.35778166$ .

$- 13.35778166$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $2.21525043$ em $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ é $(2.21525043, - 13.35778166)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(2.21525043, - 13.35778166)$

Etapa 3.3

Substitua $0.45141622$ em $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $0.45141622$ na expressão.

$f (0.45141622) = 3 {(0.45141622)}^{4} - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Eleve $0.45141622$ à potência de $4$ .

$f (0.45141622) = 3 \cdot 0.0415249 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Multiplique $3$ por $0.0415249$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Eleve $0.45141622$ à potência de $3$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 \cdot 0.09198807 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.4

Multiplique $- 16$ por $0.09198807$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.5

Eleve $0.45141622$ à potência de $2$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 \cdot 0.20377661$

Etapa 3.3.2.1.6

Multiplique $18$ por $0.20377661$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 3.66797902$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Subtraia $1.47180912$ de $0.12457472$ .

$f (0.45141622) = - 1.34723439 + 3.66797902$

Etapa 3.3.2.2.2

Some $- 1.34723439$ e $3.66797902$ .

$f (0.45141622) = 2.32074462$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $2.32074462$ .

$2.32074462$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $0.45141622$ em $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ é $(0.45141622, 2.32074462)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0.45141622, 2.32074462)$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(2.21525043, - 13.35778166), (0.45141622, 2.32074462)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0.45141622) \cup (0.45141622, 2.21525043) \cup (2.21525043, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0.45141622)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0.35141622$ na expressão.

$f'' (0.35141622) = 36 {(0.35141622)}^{2} - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $0.35141622$ à potência de $2$ .

$f'' (0.35141622) = 36 \cdot 0.12349336 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $36$ por $0.12349336$ .

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 96$ por $0.35141622$ .

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 33.73595804 + 36$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Subtraia $33.73595804$ de $4.44576119$ .

$f'' (0.35141622) = - 29.29019685 + 36$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 29.29019685$ e $36$ .

$f'' (0.35141622) = 6.70980314$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $6.70980314$ .

$6.70980314$

Etapa 5.3

Em $0.35141622$ , a segunda derivada é $6.70980314$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, 0.45141622)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0.45141622)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0.45141622, 2.21525043)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1.\overline{3}$ na expressão.

$f'' (1.\overline{3}) = 36 {(1.\overline{3})}^{2} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $1.\overline{3}$ à potência de $2$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $36$ por $1.\overline{7}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 96$ por $1.\overline{3}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 128 + 36$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Subtraia $128$ de $64$ .

$f'' (1.\overline{3}) = - 64 + 36$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 64$ e $36$ .

$f'' (1.\overline{3}) = - 28$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 28$ .

$- 28$

Etapa 6.3

Em $1.\overline{3}$ , a segunda derivada é $- 28$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0.45141622, 2.21525043)$ .

Decréscimo em $(0.45141622, 2.21525043)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(2.21525043, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2.31525043$ na expressão.

$f'' (2.31525043) = 36 {(2.31525043)}^{2} - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $2.31525043$ à potência de $2$ .

$f'' (2.31525043) = 36 \cdot 5.36038458 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $36$ por $5.36038458$ .

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 96$ por $2.31525043$ .

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 222.26404195 + 36$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $222.26404195$ de $192.9738451$ .

$f'' (2.31525043) = - 29.29019685 + 36$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 29.29019685$ e $36$ .

$f'' (2.31525043) = 6.70980314$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $6.70980314$ .

$6.70980314$

Etapa 7.3

Em $2.31525043$ , a segunda derivada é $6.70980314$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(2.21525043, \infty)$ .

Acréscimo em $(2.21525043, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$ .

$(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$

Etapa 9