Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (2 x^{2} + 18)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x^{2} + 18$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{2} + 18$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 18]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 18]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{2} + 18$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 18]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 18$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [18])$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (4 x + \frac{d}{d x} [18])$

Etapa 2.5

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (4 x + 0)$

Etapa 2.6

Simplifique os termos.

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Etapa 2.6.1

Some $4 x$ e $0$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + 18} (4 x)$

Etapa 2.6.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2 x^{2} + 18}$ .

$\frac{4}{2 x^{2} + 18} x$

Etapa 2.6.3

Combine $\frac{4}{2 x^{2} + 18}$ e $x$ .

$\frac{4 x}{2 x^{2} + 18}$

Etapa 2.6.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2 x^{2} + 18$ .

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Etapa 2.6.4.1

Fatore $2$ de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 18}$

Etapa 2.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.4.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 (x^{2}) + 18}$

Etapa 2.6.4.2.2

Fatore $2$ de $18$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 x^{2} + 2 \cdot 9}$

Etapa 2.6.4.2.3

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot 9$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 9)}$

Etapa 2.6.4.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x)}{2 (x^{2} + 9)}$

Etapa 2.6.4.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x}{x^{2} + 9}$