Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (\sin (x) + \cos (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$(\cos (x) - \sin (x)) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} - \sin (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

Etapa 5.3

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)} - \sin (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

Etapa 5.4

Combine $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$